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一個公式、定理、定律或科學理論的建立，通常都是由問題出發，
然後經歷兩個階段的發展:
- (1)先有猜測與發現的階段(the context of discovery);
- (2)接著才有檢驗(證明或否證)的階段(the context of
justification)。
在這兩個階段中，分析與綜合法都扮演了很重要的角色。
由於第一階段的猜測與發現過程太複雜多變化，無法明確地述說，
所以通常教科書都略掉不提，而只展示第二階段的成品。
我們只能泛泛地說:猜測與發現是在問題的引導下，利用分析、
歸納、試誤、局部推演、類推、直觀洞悟而得到的。
費若本(Feyerabend)甚至主張“Anything goes”（任何方法都行），也有人乾脆說「創造是不能言說的」。
至於第二階段，由於側重於知識的鞏固，故採用綜合法和演繹法，
此時邏輯推理與論證是主角。創造雖然沒有「邏輯橋」
(logical bridge)可走，也沒有「機械規則」
(mechanical rule)可循，但是波利亞(Polya)與拉卡托斯(Lakatos)
卻認為有「猜測式的推理」(plausible reasoning)與「啟發術」(heuristics)，
他們努力提倡並且身體力行之。他們要探索數學發現的理路(The logic of
mathematical discovery)，這在數學教育上起了重大而深遠的影響。
- 1. Lakatos, I. :〈The method of analysis and synthesis〉,
in Mathematics, science and epistemology, Cambridge Univ.press, 1980.
- 2. Holton, G. : 〈Analysis and Synthesis as methodological
themata〉, in the scientific imagination: case studies, Cambridge
Univ. press, 1978.
- 3. Feyerabend, P. :《Against Method, Verso Edition》,1984.
- 4. Wertheimer, M. : 《Productive Thinking》, The Univ of Chicago
press, Chicago, 1982.
- 5. Boyer, C.B. : 《History of Analytic Geometry》. Mack Printing
Co., 1956.
- 6. Lakatos, I. : 《Proof and refutation, the logic of
mathematical discovery》, Cambridge Univ. press,1983.
- 7. Szabo, A. : 《The Beginnings of Greek Mathematics》, Reidel,
1978.
- 8. Baron, M.E. :《 The Origins of the infinitesimal calculus》,
Dover,1987.
- 9. Hintikka, J. and Remes, U. :〈 The method of Analysis,
its geometrical origin and its general significance〉, Boston
studies in the philosophy of science, 1974.
- 10.蔡聰明〈蘋果樹下的沉思與悟道〉 《科學月刊》25卷7、8期 1994
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