從古希臘人採用窮盡法(the method of exhaustion)求面積開始，
到十七世紀末牛頓與萊布尼茲(Leibniz)發明微分法，
一舉解決了求面積、求體積、求切線、求極值以及研究運動現象，
前後經過約兩千年的發展，微積分才初步創立。
微積分完全是本義的分析與綜合法的產物，
圖二
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微分是分析，積分是綜合。試考慮線段 [a,b]：
經過無窮步驟的分割（析微），到達至微的無窮小 dx，這個程序叫做微分，
反過來，將無窮多個無窮小的 dx 加起來，這是綜合（致積），叫做積分，
記成  。顯然我們有
進一步推廣，對函數 y=F(x) 作分析與綜合，得到
同理，如圖三，將函數y=f(x)，在[a,b]上所圍成的平面領域分割成無窮小
矩形f(x)dx，這是分析到至微。反過來，將無窮多個無窮小的矩形累
積起來，就是綜合或積分，記成
 。
圖三
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我們立即可以看出「微積分根本定理」：
如果 dF(x)=f(x) dx 或 dF(x)/dx=f(x)，並且 f 為一個連續函數，
則由(6)式得
此式又叫做 Newton-Leibniz 公式。
dF(X)/dx 的求算就是微分法，它的幾何意義是求切線的斜率。
(7)式告訴我們，透過微分的逆運算，就可以解決求積問題。
總之，微積分就是將線段或平面領域分割切碎至無窮小的細微，再配
合適當的記號作演算，求出其長度或面積。因此，微積分及其後續發展，
如實變與複變函數論等，統稱為分析學(Analysis)，
這是實至名歸恰如其份的。
因為我們可以採用極限論證法來闡明這一切，所以只要是涉及無窮步
驟的分析與綜合，並且落實於極限論證法的數學，就叫做分析學。
今日用無窮小論證法也說得通，叫做非標準分析學(non-standard Analysis)。
分析學名稱的起源，還有另一個歷史理由。當初牛頓是透過無窮級數配合
運動學的觀點，而揭開微積分之謎。無窮級數（又叫做無窮多項式）是多項式的無窮化，而多項式是「解析術」（即代數）所研究的主題，微積分研究無窮多項式，
因此牛頓順理成章地也稱微積分為分析學。例如，二項公式是代數學的一個定理，
但是當指數改為非自然數時，就變成二項級數，屬於分析學的範圍。
希爾柏特說：「分析學是無窮的交響曲」(Analysis is the symphony of infinity)，這是由無窮步驟的分析與綜合、極限、無窮小等交織而成的美
妙音樂。
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