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三等分任意角可能嗎? (第 9 頁)

曹亮吉

 


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.原載於科學月刊第九卷第四期
.作者當時任教於台大數學系
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任意角不能三等分

經過這樣的分析後,我們可以證明三等分任意角的不可能性了。其要點有二,一為:不是任何實數都是可做數,一為:假定一角可以三等分,則某個線段長 x 為可做,但由代數的分析又知 x 不為任何 n 階數,故得矛盾。

詳細的討論如下:設 $\angle O$ 為給定的一角。假定用直尺及圓規可以將 $\angle O$ 三等分,即可以做直線 OT 而有如圖七所示的關係。今在 $\angle O$ 的一邊上任取一點 A,以 O 為圓心,OA 為半徑做弧交 $\angle O$ 的另一邊於 B,交 OTC。做 $AD\perp OB$,$CE\perp OB$。我們可以假定 OA 的長度為單位長。(其他線段的長度則由與 OA 相比而得)令 OD 長為 aOE 長為 x(即 OD 長為 OA 長的 a 倍,OE 長為 OA 長的 x 倍)。則 $a=\cos 3\theta$,$x=\cos\theta$。由 $\cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$,則得 a=4x3-3x。由此可知,如果 $\angle O$ 可以三等分,則由線段 OA 出發,x 是可做的,而且滿足上述的關係。但對某些 a 來說,這是一種矛盾。為此,我們證明一個比較廣泛的定理。



圖七

定理一:若有理係數方程式 ax3+bx2+cx+d=0 為不可約(在有理數中),則其三根皆為不可做。

證明:若不然,設 x1 為可做根中純階數最低的一根。設其純階數為 n。則 $x_1=e+f\sqrt{h}$,而 e,f,h 為同類的 n-1 階數,$f\neq0$h>0。且非某 n-1 階數的平方數。我們假定 $n\geq1$,否則 x1 為有理數,而方程式就因有有理根而變成可約了。

x1 代入方程式中,經整理後得 $s+t\sqrt{h}=0$,其中

\begin{eqnarray*}
s&=&a(e^3+3ef^2h)+b(e^2+f^2h)+ce+d\\
t&=&a(3e^2f+f^3h)+2bef+cf
\end{eqnarray*}


由於 s,t 都是 n-1 階數,而 h 不是任何 n-1 階數的平方,所以由 $s+t\sqrt{h}=0$ 可得 s=t=0。若令 $x_2=e-f\sqrt{h}$,以之代入方程式則得 $s-t\sqrt{h}=0$。所以 x2 也是方程式的一根。今假定 x3 為方程式的第三根,則由根與係數的關係,得 $x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$,即 $x_3=-(x_1+x_2)-\frac{b}{a}=-2e-\frac{b}{a}$。則 x3n-1 階數。此與對 n 之假定矛盾,故得定理。

一有理係數方程式若可約,則必有一次的有理係數因式,因此有一有理根。所以為了應用定理一,我們要知道一個有理係數多項式何時有有理根。關於此,我們從中學數學課本知有

定理二:一整係數多項式 $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 若有有理根,則此有理根必為 $\frac{b_0}{a_0}$,其中 b0,bn 分別為 a0,an 的因子。

現在我們可以證明用直尺及圓規三等分任意角是不可能的。設 $\angle O$ 為 60°,則 $a=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$,所以相對應的方程式為 $\frac{1}{2}=4x^3-3x$8x3-6x-1=0。根據定理二,若此方程式有有理根,則此根必為 $\pm 1$$\pm \frac{1}{2}$$\pm \frac{1}{4}$$\pm \frac{1}{8}$ 之一。但把這些數代入方程式知它們都不是根。所以原方程式沒有有理根,因此不可約,而根據定理一,則 x 為不可做。

不但 60°不能用直尺及圓規三等分,還有許許多多的角也不能。反之,有些特殊角是可以三等分的。譬如大家都知道直角是可以三等分的,此外 45°也可以三等分,因為 $a=\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以方程式為 $\frac{\sqrt{2}}{2} = 4x^3-3x$(它不是有理係數方程式)。但此方程式的三根分別為 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{4}(1\pm \sqrt{3})$,全是可做數。(事實上,x 為正,所以 $x=\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3})$)。當然,我們可以先將 90°角三等分得 30°角,再把後者等分而得 15°角,此即 45°角的三分之一角。

   

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編輯:李渭天 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:2/17/2002