反過來，我們要證明由一線段S出發，用直尺及圓規只能做出這些可做數倍長的線段。

現用歸納法證明如下。一直線可以其上的兩點表出，一圓可以其圓心及半徑長表出，而半徑長或線段長可以兩點之間的距離表出（譬如，這兩點可以是平面上的座標原點和實軸上距原點為該長度的點）。用直尺及圓規在n步驟內我們得到了一些點、一些直線、一些線段、一些圓。假定這些點及代表直線、線段及圓的點的座標都是同類的n階數，我們要證明到下一步驟已做出的點其座標都是同類的 n+1 階數。（若座標可做則點可做，反之亦然。）

若第 n+1 步驟做的是聯結兩已做點而做直線或是以已做點為圓心，已做長為半徑做圓，則我們並沒有得到新的（代表）點。如果聯結兩已做點 (x₁,y₁)，(x₂,y₂) 而得這兩點間的線段，則此線段長為 。它是個 n+1 階數，且和原有的點的座標（看成 n+1 階數）同類。

另一能得到新點的是做兩已做直線，兩已做圓或一已做直線，一已做圓之間的交點。設兩直線分別通過 (x₁,y₁),(x₂,y₂) 及 (x₃,y₃),(x₄,y₄)，則其方程式分別為 及 ，而得其交點的座標為 x_i,y_j（ ）的有理函數，所以新點的座標仍為同類的 n 階數。

設兩圓的圓心分別為 (x₁,y₁),(x₂,y₂)，半徑長分別為 r₁,r₂，則其方程式分別為 (x-x₁)²+(y-y₁)²=r₁² 及 (x-x₂)²+(y-y₂)² = r₂²。兩式相減，x²，y² 項消去，可得 x 及 y 的一次式。以之代回兩式之一，可得 x 的二次方程式。由此知交點的橫座標 x 呈 形式。其中 a,b,c 全為 x₁，x₂，y₁，y₂，r₁，r₂ 的有理函數。所以 x 為 n+1 階數。因 y 與 x 有線性（即一次）關係，所以 y 也是 n+1 階數，且和 x 同類。更有進者，x,y 和原有點的座標（看成 n+1階數）都同類。同樣的證法可以用來處理一圓及一直線相交的情形。

這樣，我們用歸納法證明了在 n 步驟內做出的點的座標為 n 階數。也就是說在有限步驟內我們能做的是可做數。簡單地說，可做的數可以用 +,-,×,, 及整數表出。

有一點須要說明：在做圖過程中，我們常「任取一點」、「任做一直線」或「任做一圓」。由此所得點及線、圓的代表點的座標當然不一定是可做數。但既然是「任取」或「任做」，這表示最後所得結果與取那一個或做那一個無關。所以我們可以取一點、做一直線或做一圓使其代表點的座標為已做出的數。因為有理數為 0 階數，且在實數系統中密集，所以我們可以假定這些座標為 0 階數。有了這樣的說明，我們的證明就不是以偏概全了。

另一點值得注意的是：一直線 ax+by+c=0 或一圓 x²+y²+ax+by+c=0 是否可做，全決定於 a,b,c 是否都可做。