彩虹中的數學 (第 7 頁)

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彩虹中的數學（第 7 頁）

Joe Dan Austin;F. Barry Dunning
翻譯：怡萱

．原載於數學傳播第十三卷第二期
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附錄

如果入射光線，與平行它且過水珠中心的軸之間的垂直距離為 x。從 θ 與 x 之間密切的關係，可以顯示出在所謂彩虹角 $\theta_{max}$ 附近的角，其反射光線集中的情形（見圖7）。入射角為

$\begin{displaymath}i=\sin ^{-1} \frac{x}{R} \eqno{(A1)}\end{displaymath}$

其中 R 為水珠半徑。由(1)式

$\begin{displaymath}t=\sin ^{-1} (\frac{ \sin i}{n})= \sin ^{-1} \frac{x}{nR}\eqno{(A2)}\end{displaymath}$

考慮在水珠中反射一次的情況。由方程式(2)得到

$\begin{displaymath}\theta=2(2\sin ^{-1} \frac{x}{nR}-\sin^{-1} \frac{x}{R} ) \eqno{(A3)}\end{displaymath}$

圖七

將此關係在圖7 中描出 $0 \leq x \leq R$ 的部份。用一般常用的水折射率 n=1.336。θ 的極大值顯然在 $41^{\circ}$ 附近。x 值在某一範圍的入射光線，其 θ 值都集中在極大值附近，使得這個角度特別亮。

而霓（經兩次反射）

$\begin{displaymath}\theta=D-180^{\circ} =180^{\circ}-2(3t-i) \eqno{(A4)}\end{displaymath}$

用和前面圖2 類似的方法，可證出(A4)，不妨作為練習。用(A1)、(A2)可以得出

$\begin{displaymath}\theta=180 ^{\circ}-2(3\sin ^{-1} \frac{x}{nR}-\sin^{-1} \frac{x}{R} ) \eqno{(A5)}\end{displaymath}$

把這些角描出（在圖7 中），可以看出 θ 有極小值。圖7 也顯示很少反射光線的 θ 值在 $41^{\circ}$ 和 $52^{\circ}$ 之間。所以在虹和霓之間的天空滿暗的，稱為亞歷山大黑暗帶。

: 1. Boyer, Carl B.: The Rainbow, New York: Sagamore, 1959.
: 2. Hecht, E. & Zajac, A.: Optics. Reading, Mass: Addison-Wesley Publishing Co. 1974.
: 3. Nussenzveig, H.M.: "The Theory of the Rainbow," Scientific American 236 (April 1977): pp.116-127.

（本文譯自 Mathematics Teacher, Sep. 1988, P.484）

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠、簡立欣

最後修改日期：4/26/2002