彩虹中的數學 (第 5 頁)

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彩虹中的數學（第 5 頁）

Joe Dan Austin;F. Barry Dunning
翻譯：怡萱

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．原載於數學傳播第十三卷第二期
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虹與霓

到目前為止，我們只考慮了光線在水珠中反射一次的情形。不過，光線也可能經過數次反射後，才離開水珠。圖6 顯示的是經過兩次和三次反射的情形，要算出多次反射時，入射光線和最後射出的光線間之夾角，並不困難（見圖6）。入射光線經過一次折射後，角度偏了 i-t，用圖2 所用的類似證法，在水珠內的所有反射角度最都是 t，所以每次反射都使光線偏了 $180^{\circ}-2t$ 。由於光線進出水珠時，各經過一次折射，所以角度總共偏離的度數 D 是：

$\begin{displaymath} D=2(i-t)+N(180^{\circ}-2t) \end{displaymath}$

(6)

圖六

其中 N 為反射的次數，你可以用 $D=180^{\circ}-\theta$ 代入(2)來檢查 N=1 的情況。對每個 N 值，反射光線還是只在有限的角度內。當最大值或最小值時

$\begin{displaymath} \frac{dD}{di} = 2(1- \frac{dt}{di}) - 2N(\frac{dt}{di})=0 \end{displaymath}$

而且

$\begin{displaymath} \frac{dt}{di} = \frac{1}{(1+N)} \end{displaymath}$

(7)

將(4)代入(7)然後平方，得到

$\begin{displaymath}(1+N)^2 \cos ^2 i = n^2 \cos ^2 t\end{displaymath}$

把

$\begin{displaymath} \cos^2 t=1- \sin^2 t= 1 - \sin^2 i / n^2 \end{displaymath}$

代入，得到

$\begin{displaymath}(1+N)^2 \cos ^2 i= n^2 -\sin^2 i \end{displaymath}$

解 $\cos i$ ，得到 D=D_ext 時（D 的極大或極小值）的 $\cos i$

$\begin{displaymath} \cos i= \sqrt{\frac{(n^2-1)}{N(N+2)}} \end{displaymath}$

(8)

讓(8)式中 N=1 和(5)式比較一下。對每個 N，反射光線的角度在極值 D_ext 附近比較集中，這現象加上 n 值對顏色的影響，造成了另一條彩虹。

對於兩次反射後產生的霓，N=2, $D_{ext}=232 ^{\circ}$ ，如圖6 知入射光線和出來的光線所夾角 θ 為 $D-180^{\circ}$ ，所以 θ 為 $52^{\circ}$ 。因此第二條彩虹比第一條更高，由於每次反射都失去了些光線，所以第二條較暗，此時在數學上可以證明（詳情可參閱附錄）在 D_ext 時，θ 不是最大而是最小角。所以第二條彩虹的內圈較亮，而且分別計算紅到紫的 D_ext 發現第二條的顏色次序是倒過來的。第三條彩虹， $N=3,D_{ext}=319^{\circ} , \theta \doteq 139^{\circ}$ ，如果有第三條出現，它必定在太陽附近！N 更大時，反射過程中光線損失太多，除非在實驗室中，否則沒法看到。

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠、簡立欣

最後修改日期：4/26/2002