Archimedes（阿基米德）論面積 (第 9 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 9 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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兩圓面積的比是其半徑平方的比

阿：做過這些例子之後，你們大概已經能夠抓住「窮盡法」的要領了吧。你們願意證明：「兩圓面積的比是其半徑的平方」這件事嗎？

王：Archimedes 先生，讓我試試。首先我想說明：圓內接正多邊形可以「窮盡」圓的面積。如圖，首先我們從圓內接正方形 AC 出發，做圓內接正八邊形 $AMB \cdots \cdots$ 。設 $EF /\!/ AB$ 。

$\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mbox{{\fontfamily{cwM1}\fontseries{m}\se... ...tfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

同理，可證明

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 113}\... ...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}.} \cdots \cdots \end{displaymath}$

因此，利用「Archimedes性質」^註15 ，對於任一個幾何量 α，都存在一個正整數 n，滿足

$\begin{displaymath}\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 198}\... ...{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}} < \alpha \end{displaymath}$

現在假設半徑 r₁ 與 r₂ 的圓面積分別是 A₁ 與 A₂，我們想證明 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ 。

假設 $\frac{A_1}{A_2} < \frac{r_1^2}{r_2^2}$

取一個半徑是 r' 的圓，面積是 A'，並且

$\begin{displaymath}\frac{A_1}{A'} = \frac{r_1^2}{r_2^2}\end{displaymath}$

因為 $\frac{A_1}{A_2} < \frac{A_1}{A'}$ ，所以 A₂ > A'。

取一個圓內接正 n 邊形在半徑 r₂ 之圓內，使其面積與圓面積之差不超過 A₂ - A'。設此正 n 邊形面積為 P₂。我們得到，

0< A₂ - P₂ < A₂ -A'.

因此，

A'< P₂ < A₂

利用這個 n，在半徑為 r₁ 的圓內也造個內接正 n 邊形。設其面積為 P₁，非常容易可以知道，

$\begin{displaymath}\frac{P_1}{P_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2} \end{displaymath}$

所以，

$\begin{displaymath}\frac{P_1}{P_2}=\frac{A_1}{A'}\end{displaymath}$

因為P₁<A₁，所以P₂<A'。

但是我們早已得到 A' < P₂ < A₂ 矛盾。

同理，可證明 $\frac{A_1}{A_2} > \frac{r_1^2}{r_2^2}$ 也是不可能的。

阿：完全正確。我相信你們現在已經知道我怎樣得到我最先提到的定理：
「底部半徑為 r，高為 2r 的圓柱體的體積是半徑為 r 的球體體積的 3 / 2 倍。同樣的敘述對於表面積也是對的。」

至於它的嚴格證明，我最近會寫在一本叫做《論球體與圓柱體》的小冊子。我的朋友 Dositheus 會收到這本小冊子的。 ^註16

這個定理的嚴格證明實在非常巧妙。我很希望我死後，在我的墓碑上刻上這個定理。

王：這真是一個別出心裁的墓碑！

使：說老實話，我還是搞不懂你怎麼得到那個定理的。拜託你再多指點指點。

阿：何必非要我剝奪你發現真理的樂趣呢？

（談話結束。） ^註17

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002