Archimedes（阿基米德）論面積 (第 5 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 5 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

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拋物線的面積（第一個方法）

阿：我們再看一個例子。請看下圖，我們怎麼求出斜線部分的面積？

使：Archimedes先生，這次讓我來做。 $BD /\!/ EF$ ，過 A 點做拋物線的切線 AE 。取 AP = PC。

我知道 EO = FO，這是Apollonius告訴我的^註2，因為 EO = FO，E 與 D 的座標很容易求出： E(-4,0)， D(-120xA141-2)。現在設 M 在線段 AB 上任意移動， $MN /\!/ EF$ 。K,L 的座標也可求出：K (2y,y) , L (4y-4,y)。

$\begin{displaymath}\frac{LM}{NM} = \frac{8-4y}{4-4y^2} = \frac{4}{2+y}= \frac{AB}{MB} \end{displaymath}$

因此 ^註3，

$\begin{displaymath}\frac{LM}{NM} = \frac{AB}{MB} =\frac{AP}{KP} =\frac{CP}{KP}.\end{displaymath}$

如果我們讓 M 在 AB 之上運動，把所有的 NM 的長度湊起來，我們就得到拋物線的面積，把所有的 LM 的長度湊起來，我們得到 $\triangle ADB$ 的面積。

現在因為 $\frac{LM}{NM}=\frac{CP}{KP}$ ，我們把 AC 看成一根槓桿，P 看成支點，把線段 LM 留在原來的地方，把線段 NM 搬到 C 的位置，我們就得到一個平衡狀態。

所以，我們得到：在槓桿 AC 上面，C 點放一個小鉛球，其質量是 $\rho \alpha$ ，其中 α 是拋物線面積，ρ 是均勻物質的密度；在支點的另一側，仍然放著三角形 $\triangle ADB$ 還是會保持平衡狀態。

但是 $\triangle ADB$ 的重心是其三個中線的交點，這個重心恰好是線段 PA 上距離 P 點為 $\frac{1}{3}PA$ 的位置。因此，槓桿另一側可以想成，在這個重心位置，也放個小鉛球，質量是 $\rho \cdot \beta$ ，β 是 $\triangle ADB$ 面積。所以

$\begin{displaymath}PC \cdot \rho \alpha = \frac{1}{3}PA \cdot \rho \beta \end{displaymath}$

而 PC = PA，因此

$\begin{displaymath}\frac{\alpha}{\beta} = \frac{1}{3} \end{displaymath}$

但是 $\beta = 32$ ，所以 $\alpha = \frac{32}{3}$ 。這就是斜線部分的面積。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002