Archimedes（阿基米德）論面積 (第 7 頁)

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Archimedes（阿基米德）論面積（第 7 頁）

康明昌

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．原載於數學傳播第六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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Platonic School（柏拉圖學派）或 Democritus' School?

使：Archimedes 先生，上面的論證真是美妙極了。不過，你能不能容許我提出一個問題？你說，面積是由許多線段的長度湊合起來的，體積是由許多橫截面的面積湊合起來的。這究竟有什麼根據？你能夠用 Euclid《幾何原本》那些公設證明這些事情嗎？你又說，在槓桿的一側擺上一個物體。相當於在重心位置掛上一個相等質量的小小鉛球。這只不過是實驗的結果而已。難道你有一個普遍性的嚴密的證明嗎？

阿：好個 Platonic school 的門人 ^註6 。你的問題正好擊中我的要害。所以，我在最先就聲明過了。這些方法的優點就在於它們能夠幫助我找到正確的答案。只有找到了正確的答案。我才能夠給予嚴謹的證明 ^註7 。我等一下還要說明第三個拋物線面積的方法。這個方法即使是 Plato，也會頷首稱許的。

王：Archimedes 先生。使者先生的問題果然是有些道理。我們說，體積是由許多橫截面的面積湊合起來的。這是不是因為「立體是由許多橫截面形成的」？

使：如果這樣說。直角錐豈不是由許多橫截面疊起來的？但是，如果這些橫截面是同樣大小的，那麼疊起來的立體是圓柱體而不是圓錐體。如果這些橫截面不是一樣大小，那麼疊起來的立體會像階梯一樣，一級一級的。而不是平滑的直角錐。

阿：完全正確。你們的懷疑都是有根據的。（轉向國王）不過，親愛的國王，如果有一個方法可能可以擊沈羅馬人的戰艦。你願意先試用這個方法還是先證明這個方法確實可行才使用呢？

王：我當然願意先試用看看。說來對你可能有一點不敬，覺得哲學家的推理與冥思有時候是非常沈悶並且令人厭煩的。

阿：尊貴的國王，你的第一個意見我完全同意。可是你對哲學家的批評實際上是一種反知識的態度，這種態度與其說是希臘的，不如說是羅馬的。那些只知道買一些希臘雕塑品來裝飾家裡的羅馬人，對於希臘文化精華所在顯然是毫無所知。我敢斷言，羅馬人留給後世的文化遺產一定不如我們希臘人。

使：Archimedes 先生，我的主人非常尊敬你。可是我的主人常說，你和純粹的希臘數學家並不完全相同。對我們希臘人而言，幾何是最高級的數學，算術（數論與一些計算問題）是次一等的。可是你為什麼要花費你的寶貴時間去計算

X² - 4,729,494 y² = 1

的整數解呢？ ^註8

阿：所謂高級與次一等的區別，只是一種偏見。就我來看，數學像一顆含有無數面的寶石。每一面有每一面的光芒與色彩，彼此輝映，相互襯托。過份強調幾何的重要性，我想，只會導致希臘數學的退化而走入絕路 ^註9 。

另一方面，你最先的問題，為什麼體積可以看成是許多橫截面的面積湊合起來的？這個想法並不是我自己想出來的，這是 Democritus（約460～370 B.C.）想出來的。

Democritus 認為，物質是由許多不能再分割的原子 (atoms) 構成的。就體積而言，橫截面的面積就是原子。這種「原子說」雖然沒有充分的理論根據，可是卻是一種非常有用的方法論。至少物理學家與化學學家對待「原子說」，就不像數學家那麼苛刻。Plato 的學生認為「原子說」是數學的一劑毒藥。因此常故意忽略 Democritus 的貢獻。一個很小的例子，Euclid 的《幾何原本》絕口不提，Democritus 知道圓錐體體積是等底等高圓柱體體積的 1 / 3 ^註10 。 Platonic school 過份強調證明的嚴格性，對於數學的發展並非不可能發生反面的作用。如果 Platonic school 的哲學與科學理論在後代仍然大行其道，我這個用槓桿原理猜測面積的方法，恐怕不出幾百年，就要被後代的人遺忘了 ^註11 。

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編輯：康明軒 ∕ 校對：鄧惠文 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：4/26/2002