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Archimedes(阿基米德)論面積 (第 4 頁)

康明昌

 

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.原載於數學傳播第六卷第一期
.作者當時任教於台大數學系

註釋
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拋物線的旋轉體體積

阿:現在有一個拋物線 x=y2,繞著 x 軸旋轉,如下圖:



你們能不能猜出斜線部份所繞出來的體積?如果我說。我拿一個垂直於 x 軸的平面和這個旋轉體相交,每一個橫截面都是一個圓。我如果把這些圓的面積通通湊起來。你們相信不相信這樣就得到了旋轉體的體積?

王:我相信,但是我不能證明這件事。

阿:我也相信,同樣的,我也不能證明它。但是這就夠了。

現在請看下圖。 $PS /\!/ QR /\!/ x$軸。PS 繞著 x 軸旋轉可以得到一個圓柱體。



使:這個圓柱體的底部半徑是2,高是4。

阿:是的。所以我們只要求出這兩個旋轉體體積的比例就夠了。

再看上圖。如圖取一個平面垂直於 x 軸,這個平面在這兩個旋轉體的橫截面都是圓。 如果這個平面在 OU 線段之上變動。我們就得到所有可能的橫截面。

假設 TOU 之上的任意點,我們的平面在 T 點和 x 軸相交,那麼這個平面這時候在圓柱體的橫截面的半徑是 TW,在拋物線旋轉體的橫截面的半徑是 TV。因此

\begin{displaymath}
\frac{\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \cha...
...t \char 9}}}
= \frac{TW^2}{TV^2} = \frac{4}{y^2}=\frac{4}{x}
\end{displaymath}

所以,我們如果把原點想像成槓桿的支點,x 軸想像成槓桿,把圓柱體橫截面留在原來的位置。把拋物線旋轉體的橫截面搬到支點左側距離 4 的位置,我們是不是得到一個平衡的狀態?如果,我們對於每一個橫截面都這麼做,我們得到什麼呢?

使:天啊!槓桿左邊相當於一個質量 $\rho \cdot V_1$ 的鉛球(如下圖),V1 是拋物線旋轉體的體積,ρ 是密度。



阿:槓桿右側是不是相當於在支點右側距離 z 的位置擺上一個質量 $\rho V_2$ 的小鉛球。其中 V2,是圓柱體的體積?

王:所以, $\rho V_1 \cdot 4 =\rho V_2 \cdot 2$。所以,

\begin{displaymath}\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{2} \end{displaymath}

哈哈,原來這麼簡單!

   

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編輯:康明軒 / 校對:鄧惠文 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002