上頁 1234567 次頁

統計學淺談 (第 5 頁)

唐文標

 

首頁 | 搜尋

.原載於數學傳播第三卷第三期
.作者當時任教於英國劍橋大學
對外搜尋關鍵字
 
(戊)概率函數:

X 前面出現 最少出現 最多出現 面為全同
  的次數 二次梅花 一次梅花  
(梅,梅) X=0 $\frac{1}{4}$ X=2 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$ X=1 $\frac{1}{4}$
(梅,蘭) X=1 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$ X=1 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$
(蘭,梅) X=1 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$ X=1 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$
(蘭,蘭) X=2 $\frac{1}{4}$ X=0 $\frac{1}{4}$ X=1 $\frac{1}{4}$ X=1 $\frac{1}{4}$

我們這個表要說明同一個實驗,可以定義很多不同的函數-隨機變數。 綜合隨機變數的值和概率,我們可以有一種容易運用的概率函數。 上面表中的概率函數和累積概率分佈函數是:

X P(X=x)=ai $\sum_{-\infty}^{N} P(X=x)=P(X\leq N)$
蘭面 $P(X=0)=\frac{1}{4}$ $P(X\leq 0)=\frac{1}{4}$
出現 $P(X=1)=\frac{2}{4}$ $P(X\leq 1)=\frac{3}{4}$
的次數 $P(X=2)=\frac{1}{4}$ $P(X\leq 2)=1$
最少出現 $P(X=0)=\frac{3}{4}$ $P(X\leq 0)=\frac{3}{4}$
二次梅花 $P(X=2)=\frac{1}{4}$ $P(X\leq 2)=1$
最多出現 $P(X=0)=\frac{1}{4}$ $P(X\leq 0)=\frac{1}{4}$
一次梅花 $P(X=1)=\frac{3}{4}$ $P(X\leq 1)=1$
兩面 $P(X=0)=\frac{1}{2}$ $P(X\leq 0)=\frac{1}{2}$
全同 $P(X=1)=\frac{1}{2}$ $P(X\leq 1)=1$
  概率函數 累積分佈函數

這堛漕狺l自然簡單一點,有時在複雜的實驗或煩瑣的要求時, 隨機變數和它的概率函數也相應的複雜起來,我們且不談這些技巧上的問題, 要指出的倒是:我們有成千上萬的隨機變數,每一個都有一個概率函數相隨, 每一個現象或要求可以計算出一個隨機變數出來, 只有滿足幾個簡單條件都可以過關了:

(一)隨機變數的定義值是互不混淆的。
(二)對每一個值都有一個0和1之間的概率函數值與之相對應:

\begin{displaymath}P(X=x_i)=a_i,0\leq a_i \leq 1 \end{displaymath}

(三)隨機變數的累積分佈函數的最小值為0,最大值為1。即是

\begin{displaymath}
0 \leq P(X\leq x) \leq 1
\end{displaymath}

這幾條條件並不太難滿足,因此分佈函數多得很了。 我們回到原來問題想。到現在為止,進展是:我們要解釋一種社會現象, 首先假設可以有一個數學模型(概率空間)來滿足這個要求。為了方便計算, 把這模型用隨機變數這種方式寫出來。也就是說,我們先解答了隨機變數, 然後把這模型寫成為它的分佈函數。 因為社會現象如今可以假設它是一個分佈函數, 或這現象的單元服從某個隨機變數的概率(密度)函數。 (密度函數應用到連續型的隨機變數上面。) 解釋社會現象變為了解它相伴的分佈函數,也就是在這分佈函數中找到「測度」來。

社會現象很多,每一次要分析一個現象,再要重新研究它所相應而生的隨機變數和分佈函數,太麻煩了。 事實上,雖然隨機變數很多,但典型的分佈函數,供我們常用的不外二十個左右, 所以我們不妨先研究一下幾個有代表性的分配函數。以後碰到一個社會現象時, 只要把隨機變數類型認清楚,歸到某一典型的分佈函數, 我們便可以簡單利用已研究清楚的性質和定理了。 典型的分佈函數是

(一)二項分佈函數:(有限離散型)

凡隨機變數有二分型的特性;事件出現的方法非此即彼,非甲即乙,非善即惡……時, 都是屬於這一類的分佈函數。它的概率函數是

\begin{displaymath}
P(X=x)=C_x^nP^x(1-P)^{n-x},x=0,1,2,\cdots\cdots,n
\end{displaymath}

(二)無限離散型;波爾松型:

凡隨機變數滿足一些條件:

(1)事件發生的概率與(時間)區間長短有關,而與開始或結束地點無關。
(2)現在發生之事件跟過去事件或未來事件無關。
(3)短時期內只出現一簡單事件的概率和區間長度成比例。
(4)短時間內出現多過一簡單事件機會很少。

在這些條件之下,出現了一個波爾松型隨機變數它的概率函數是,

\begin{displaymath}
P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}(\lambda)^x}{x!} ,x=0,1,2,\cdots\cdots
\end{displaymath}

(三)連續型;常態分佈函數:

當樣本數很大,隨機變數所取的值為很多時,適當變換後,有一個理想型的分佈函數出現:

\begin{displaymath}
P(X)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\rho}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\rho^2}},
-\infty \leq x < \infty,-\infty < \mu < \infty,0<\rho
\end{displaymath}

在普通情形中,大多隨機變數可用這三類型來代表。自然也可以進一步學多幾個不同類形的隨機變數。 如卡方分佈、幾何分佈、Student 分佈

   

上頁 1234567 次頁

回頁首
 
(若有指正、疑問……,可以在此 留言寫信 給我們。)
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002