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統計學淺談 (第 4 頁)

唐文標

 

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.原載於數學傳播第三卷第三期
.作者當時任教於英國劍橋大學
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(丁)概率空間的意義:

我們先談第一個問題,就是現象所處身的,例如自然界,有沒有規則? 社會發展是否可以找到一定的發展規律呢?我們自然不知道, 但嘗試去解釋它是一件人類的事,我們的想法是有時可以利用一個「數學模型」 來逼近解釋這社會現象的。

這堙A我們可以分開來說,這種假設是同時有理論性和經驗性的意義的。 下面希望能解釋這一點。

從前面舉例得知,20個人中月薪不齊。我們可以假設這是一個常態分佈函數,其密度函數是

\begin{displaymath}
f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\end{displaymath}

其中μ和$\sigma^2$是二個參數的常數,(就是說服從一個數學模型了) 我們要利用樣本來推測μ和$\sigma^2$的真值。

但另一方面,由於20個人中月薪不齊,所以它形成某種經驗分佈(模型) 圖樣。例如由20人變為100人,那麼很可能有下面圖形,像跟據中心極限定理, 愈來愈接近一個理想型的分佈也。這就是經驗上趨近常態分佈的意義了。





我們想法是,統計基本設計是,利用一個概率模型來解釋世界。 例子中我們要問,這些月薪是否合乎一個概率空間(模型)。 一個人之入息服從某些定則?隨便拿起一份月息報告, 那麼這些所得的價值是某一數,是否服從某種概率分佈函數而出現的呢? 如果是,那麼便可以用概率方法來討論了。

再舉一個例子。一間玩具工廠,可以出品多種不同的玩具。 我們可以稱每一次出品玩具的配合為「事件」。(例如,十隻玩具狗, 二十具坦克車為一個事件。)如果這些事件的出現是合於市場要求的, 因此具備了一條已客觀存在的概率函數的條件, 我們將這種條件和所有事件一起來想,這就是「概率空間」的起源了。

但是,事件可能是一種事實,一種實驗結果,或一些發展的種類, 不一定能適合運算,更無論從中找到數字測度了。例如在這種想法下, 說一個人窮不如說明他的入息是多少。為了這緣故,我們把事件量化為數據, 甚至進一步改訂「事件」。

改訂事件就引進了「隨機變數」這一個觀念。也是說用數學的語言來簡化 「概率空間」,使它更合於統計的運算。 改訂「事件」的過程是要詢問二個問題:

(一)某一事件是甚麼?
(二)某一事件有多大?

這就是我們對一個實驗中任一事件的態度,究竟這事件是什麼東西呢? 實驗 問:A這「事件」出現的意義:

(一)它是什麼?
(二)它身體多大?



我們來答覆這二個問題。

(一)這事件是什麼?我們把它轉換一下(事實上, 也就加入了自己對這事件所加進去的要求或認知的範圍,也是說, 我們並不在乎對這事件完完全全的客觀了解, 只不過為自己興趣和目的而轉換而已。) 我們轉換這事件到可以使用數字來代替它,也許更簡單的說,是把這事件用 「數字」命名,或是化它為數字,因此我們不說天氣熱, 而說氣溫三十五度之類。數學化一點說,便是利用隨機變數這個函數, 把實驗的事件映射到實數系上面去。

(二)這事件有多大?當然大小是和全體相比而知道的。 我們可以計算這事件的概率,或者比較它佔全體的多少部份。更數學化一點, 利用一個概率函數,把這隨機變數的值全映射到0與1之間的實數集去。



舉例來說:拋二個銅板,結果可定為,

[梅,梅],[蘭,梅],[梅,蘭],[蘭,蘭]。

每一對都是相等機會出現的。

(一)如果你要求的為出現蘭面的個數, 因此隨機變數X當然代表出現蘭面的個數,因此,X可以是0,1和2, 而它的概率相應為$\frac{1}{4}$$\frac{2}{4}$,和$\frac{1}{4}$
(二)如果你要求的是蘭面出現與否,因此隨機變數X當然代表出現蘭面時有一代號,(設為+3) 不出現蘭面時另有一數字代號,(設為-2)。 故X值為-2+3,概率依次為$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$
(三)如果你要求的是二個銅板出現的面是否全同, 因此隨機變數X在出現二個梅面或二個梅面或二個蘭面時有一數字代號, (設為1),否則二個不相同時也有一數字代號,(設為0)概率則是相同的, 都等於$\frac{1}{2}$

這婸〝了因為要求不同,所訂出來的隨機變數的定義值改變了。 因而機率也改變了。 下面我們用一個例子來比較這些不同點,並進一步綜合隨機變數的結果為概率函數。

   

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編輯:朱安強 最後修改日期:4/26/2002