談韓信點兵問題 (第 9 頁)

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談韓信點兵問題（第 9 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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集合加結構

為了要求解這個問題，我們必須研究 L 的性質，以及原料集與產品集的結構。

基本上，我們可以說，現代數學就是研究集合加上結構，由此演繹出的所有的結果。這個結構可以是運算的或公理的等等。

L 的原料集為整數集

$\begin{displaymath} \mathbf{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,\cdots\} \end{displaymath}$

在求解孫子問題的過程中，我們用到了兩個整數 a、b 的加法 $a+b \in \mathbf{Z}$ ，以及一個整係數 α 與一個整數 a 的係數乘法 $\alpha \, a \in \mathbf{Z}$ 。這兩個運算滿足一般數系所具有的一些運算律，例如交換律、分配律等等。

另一方面，由三個整數所組成的一個向量，例如 $\pmatrix{ r_1 \cr r_2 \cr r_3 \cr }$ ，就是 L 的一個產品，而產品集為

$\begin{displaymath} \mathbf{Z}_{(3,5,7)}^3 = \big \{ \pmatrix{ r_1 \cr r_2 \cr... ...\cr } : 0\leq r_1<3, \; 0\leq r_2<5, \; 0\leq r_3<7 \; \big \} \end{displaymath}$

兩個向量的相加，以及係數乘法，分別定義為

$\begin{eqnarray*} \pmatrix{ a_1 \cr b_1 \cr c_1 \cr } + \pmatrix{ a_2 \cr b... ... c \cr } = \pmatrix{ \alpha a \cr \alpha b \cr \alpha c \cr } \end{eqnarray*}$

但是，最後所得的結果，必須再經過對 3、5、7 的取模操作(modulus operation)，例如

$\begin{displaymath} \pmatrix{ 1 \cr 4 \cr 1 \cr } + \pmatrix{ 2 \cr 2 \cr ... ...rix{ 3 \cr 6 \cr 6 \cr } = \pmatrix{ 0 \cr 1 \cr 6 \cr } \end{displaymath}$

(20)

$\begin{displaymath} 9 \pmatrix{ 1 \cr 4 \cr 1 \cr } = \pmatrix{ 9 \cr 36 \cr 9 \cr } = \pmatrix{ 0 \cr 1 \cr 2 \cr } \end{displaymath}$

(21)

因為這一切都是起源於對 3、5、7 的除法及餘數的問題，某數被 3 除，餘 0 與餘 3 都表示著同一回事，即某數為 3 的倍數。因此利用對 3 同餘的觀點來看，1+2=0；對 5 同餘的觀點來看，2+4=1；同理，對 7 同餘，那麼 4+5=2。

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編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002