談韓信點兵問題 (第 4 頁)

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談韓信點兵問題（第 4 頁）

蔡聰明

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．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
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兩個方程式

其次，考慮

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{c} x=3q_1+2 \\ x=5q_2+3 \end{array}\right. \end{displaymath}$

(6)

的整數解 x。為此，我們考慮更簡單的齊方程式問題：

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{c} x=3q_1+0\\ x=5q_2+0 \end{array}\right. \end{displaymath}$

(7)

這表示 x 可以同時被 3、5 整除，即 x 是 3、5 的公倍數。因為這兩個數互質，所以 3 x 5=15 是它們的最小公倍數。從而，

$\begin{displaymath} x=15\cdot n, \quad n \in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

(8)

是(7)式的齊次方程之通解公式。

如何求得(6)式的一個特解？這可以採用試誤法，也可以系統地來做。今依後者，考慮比(7)式稍微進一步的問題：

$\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{c} x=3q_1+1\\ x=5q_2+0 \end{array}\right. \end{displaymath}$

(9)

這是要在 5 的倍數中

$\begin{displaymath} \cdots -10,-5,0,5,10,15,\cdots \end{displaymath}$

找被 3 除餘 1 者。由於我們只要找一個特解，故不妨選取 x=10。從而

$\begin{displaymath} \left \{ \matrix{ x=3q_1+2 \cr x=5q_2+0 \cr } \right. \end{displaymath}$

(10)

的一個特解為 x=2 x 10。同理，我們找到

$\begin{displaymath} \left \{ \matrix{ x=3q_1+0 \cr x=5q_2+1 \cr } \right. \end{displaymath}$

(11)

的一個特解 x=6，於是 x=3 x 6 為

$\begin{displaymath} \left \{ \matrix{ x=3q_1+0 \cr x=5q_2+3 \cr } \right. \end{displaymath}$

(12)

的一個特解。因此

x=2 x 10+3 x 6

(13)

為(6)式的一個特解。

將(8)式與(13)式相加，得到

$\begin{displaymath} x=2\times10+3\times6+15\cdot n, \quad n\in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

(14)

這是(6)式的通解公式（窮盡了所有解答）嗎？

答案是肯定的，我們證明如下：根據上述的建構，顯然(14)式為(6)的解答。反過來，設 A 為(6)式的任意解答，則 A-2 x 10-3 x 6 為(7)式的解答，而(7) 式的解答形如 $15\cdot n$ ，因此 $A-2\times 10-3 \times 6=15 \cdot n$ ，亦即 A 可表成

$\begin{displaymath} A=2\times 10+3\times 6+10\cdot n, \quad n\in\mathbf{Z} \end{displaymath}$

換言之，(6)式的任意解答皆可表成(14)之形，所以(14)式為(6)式之通解公式。

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編輯：洪瑛 ∕ 繪圖：簡立欣

最後修改日期：2/17/2002