談韓信點兵問題 (第 3 頁)

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談韓信點兵問題（第 3 頁）

蔡聰明

．原載於科學月刊第二十九卷第九期
．作者當時任教於台大數學系

‧註釋
‧對外搜尋關鍵字

單獨一個方程式

欲求

x=3q₁+2

(4)

的整數解 x，顯然解答的全體為

$\begin{displaymath} S=\{\cdots,-7,-4,-1,2,5,\cdots\} \end{displaymath}$

這些解答可以寫成一個通式：

$\begin{displaymath} x=3n+2, \quad n\in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

(5)

其中 Z 表示整數集。事實上，(5)式只是(4)的重述。

進一步，通解公式(5)也可以寫成

$\begin{displaymath} x=3n+5, \quad n\in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

或

$\begin{displaymath} x=3n+(-4), \quad n \in \mathbf{Z} \end{displaymath}$

等等。換言之，通解公式可以表成 x=3n, $n \in \mathbf{Z}$ ，與 x=2（或 x=5，或 x=-4 等等）這兩部分之和。前一部分是 x=3q₁ 之通解，後一部分是 x=3q₁+2 的任何一個解答（叫做特解）。

這告訴我們，欲求 x=3q₁+2 之通解，可以分成兩個簡單的步驟：先求 x=3q₁ 的通解，再求 x=3q₁+2 的任何一個特解，最後將兩者加起來就是 x=3q₁+2 的通解公式。

這對於兩個方程式的情形也成立嗎？這是否為一般的模式 (pattern)？下述我們將看出，這是肯定的。

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最後修改日期：2/17/2002