粗略地說，微積分學經過兩千多年的醞釀，在牛頓、萊布尼茲手中誕生，在十八世紀成長，而在十九世紀有了嚴格的基礎後變得成熟了。牛頓、萊布尼茲雖然把微積分系統化，但它還是不嚴格的。可是微積分被成功地用來解決許多問題，卻使十八世紀的數學家偏向其應用性，而少致力於其嚴格性。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉（L. Euler, 1707∼1783）、拉格朗日（J.U. Lagrange, 1736∼1813）、拉普拉斯（P.S. de Laplace, 1749∼1827）、達蘭伯（J.de R. d'Alembert, 1717∼1783）及伯努利(Bernoulli) 世家等人的手裡。他們有敏銳的直觀感，知道什麼樣的公式是對的；而且研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論。使微積分學不因基礎不穩而走向歧途。在他們的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大一所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。

微積分的應用非常廣泛。我們知道積分原來是要求積的，但逐漸地，大家發現許多問題都可以化成求積的問題，如重心、重量、壓力、矩、功等等。下面來談談微分學的功用。

我們要研究動態的事物，就要研究各種變數的變化率，這是微分學最重要的課題。如果兩變數之間有某種關係，則其（對某變數而言的）變化率之間也會有關係的。如果知道其中的一個變化率，則其他的一個也隨之而決定了。反之，若兩變化率之間有某種關係。則我們可用積分的方法，求得原來兩變數之間的關係。自然界的許多現象，其變化率和變數間常有某種關係，若用數學式子表示出來就是微分方程了。研究微分方程當然要用微積分。

除了研究變化率及解微分方程式外，微分學還有一個非常重要的用途，那就是逼近。這要由切線談起。切線是條直線，比曲線好研究太多。而且在切點附近，以切線代替曲線（即，在圖十二中，以微分式 dy（=T₁R）代替 y 軸方向的變量 P₁R），其誤差很小。當然，在有些情況下，用切線代替曲線所得結果不很理想。但是簡單曲線不只是直線而已，譬如二次維線我們也相當熟悉，也可以用來代替曲線。譬如圖十五中用圓代替曲線，就比用切線代替曲線要好得多（在切點附近）。作切線要求導數，而作適當逼近的圓（叫做吻切圓）則要求導函數的導數。後者雖然較精確，但方法較繁，有得必有失，不能兩全，取捨之間就要注意到實際的需要。研究了曲線的切線及吻切圓之後，曲線的性質就知道大半了。同樣地，我們可以用微分的方法研究空間的曲線和曲面，這都屬於微分幾何學的範圍。

圖十五

如果把曲線看做量與量之間的函數，則上面的做法就等於求函數的近似值。當然，近似值就是有誤差的意思。在數學上有誤差不是不好嗎？不盡然。首先，誤差並不是錯誤；其次，就實際應用而言，在把研究對象加以量化時就已經產生誤差，縱使我們在用數學工具時要求絕對準確，所得的結果仍然和實際的有差別。所以如果用切線代替曲線的誤差，比量化時所產生的誤差要小得多，我們何不輕輕鬆鬆作切線來代替曲線呢？如果精密度不夠，則可以求導函數的導數或更高階的導數。許多數值表，如三角函數表、對數函數表就是這樣得到的。就實用而言，我們不怕誤差的存在；就數學而言，我們要研究誤差有多少，要把誤差控制在許可範圍之內。

其實，微積分的發展和函數的研究是相互的。牛頓求 y=ax^m 的導函數時，就利用到函數 (x+o)^m 的二項展式。如果 m 是分數或負數，這個展式是個無窮冪級數。牛頓先用其他的方法推得這種冪級數，然後用來求 y=ax^m 的導函數。反之，後人學會用別的方法求 y=ax^m 的導函數，則可用來求 (x+o)^m 的冪級數表示法。一個函數用冪級數來表示，至少有下面種種的好處：

一、若 f(x)=a₀ + a₁ (x-c) + a₂ (x-c)² + ，則用牛頓的方法可得 f'(c) 為 a₁。

二、將冪級數的每項分別積分（微分），然後加起來得到的冪級數就是 f(x) 的積分（導函數）。

三、如果只取冪級數的前幾項，則所得的多項式為原函數的逼近多項式，譬如只取兩項，則 y=a₀ + a₁(x-c) 表過點 (c, a₀) 的切線，這是所謂的線性逼近 (linear approximation)。通常項數愈多則愈逼近。

用冪級數表函數固然方便，但有種種的問題發生。譬如，是不是所有的函數都能表成冪級數？如果不是，則那些函數能？能表成冪級數的才叫函數嗎？函數是什麼？如果某函數能表成冪級數，則其表法如何求得？冪級數是否收斂？用多項式逼近其誤差如何決定？……

十八世紀的微積分利用函數的冪級數表示法迅速地成長了。反之，微積分變成研究函數的有力工具。連帶地，函數的範圍日漸廣泛，而其觀念也日益成熟。而級數的收斂問題，也逼使數學家再次面對整個微積分的基礎問題：極限。

十八世紀的數學家知道微積分沒有嚴格的基礎，有些人也努力想辦法補救，但都失敗了。當時的大數學家歐拉和拉格朗日認為微積分雖然沒有嚴格的基礎，但其推論往往正確，其原因是在論證過程中，我們犯了一些錯誤，而這些錯誤互相抵消了（錯錯得對）！達蘭伯甚至叫學生不要氣餒，說持之有恆地用微積分，自然對微積分就會有信心。（就像老學究要學生背古書，不必求甚解，日積月累，終會把文義弄通一樣！）

我們談過無論是積分或是微分，想要把靜態的無窮小法嚴格化，我們最後只能放棄無窮小觀點，而代之以動態的極限觀點，但極限的觀點很不容易被當時的人接受。譬如，微分中的極限是兩量比的極限，由於幾何觀點根深蒂固，人們總認為兩量比的極限也應該是某兩量之此，而不是純粹的一個數。所以他們總是在探求這種「最後」比值的幾何意義為何？而且不期而然地會認為是兩無窮小量之比，或是兩個零之比。這也就說明了雖然牛頓曾提過極限的方法，但他的流數法及萊布尼茲的微分式法還是大行其道。 此外，遇到複雜一點的函數時，由定義直接求導數很難，這也使人裹足不前。同時極限的觀念還牽涉到實數的觀點，在後者沒弄清楚以前，前者也很難發展得完美，這一點容稍後再談。

有些人注意到，純幾何的方法沒辦法使微積分有嚴格的基礎，所以轉而求代數的方法，而錯以為微積分是一種新的代數學。微分式法就是典型的代數方法。（回想一下，y=x^m 時，dy=mx^m-1dx 是怎麼得到的。）同樣看法，級數間的運算也被認為是多項式間運算的一種延伸（冪級數就是無窮項多項式！），而不必探討這些運算的合法性。拉格期日為了避免微積分基礎問題的苦境，也轉用代數觀點，他說任意函數都可表成冪級數，而其一次項係數就是導數。他的說法曾盛行一時，但也失敗了。用現代的觀點來看很清楚：不是任何函數都可表成冪級數，而縱使可表，其各項係數還是得用極限微分的方法求得。

十八世紀的積分學則因過分強調微積分基本定理而變成微分學的附庸。有的人乾脆就把積分看做反微分，而不深究其定義。

微積分基本觀念的混亂直到十九世紀初柯西力倡極限方法才得大部分的解決。他用現代的極限觀念定義了導數、積分，重新證明了許多基本公式，證明了微積分基本定理，又探討了級數的收斂問題。這是現代解析學的誕生，微積分不但不是一種幾何學而且也不再是一種代數學。

十八世紀微積分學發展的結果，使函數的範圍增廣，包括了一些不完全連續的函數。對不完全連續的函數而言，微積分基本定理要做相當的修正，也就是說積分不完全是微分的反運算。積分被平反了，不再被看成完全是反微分。這件事自有其歷史上及觀念上的意義。

柯西的極限方法並沒有把問題完全解決。有兩個大難題：

一、譬如，直觀上，若一數列 S₁, S₂, … S_n, … 遞增（即 ）且有界（即 |S_n| 恆小於某定數），則 應該存在。但 到底是什麼樣一個數呢？我們會問什麼樣的數可以是極限值。 舉個例說，若 ，則 S_n 是遞增且有界的。但 是什麼？這個問題就是所謂的實數系統的問題。除了我們熟悉的分數，帶根號的無理數外，還有那些數是實數？整個實數系統有那些特性？能夠回答這些問題，才能知道在那種情形下會有極限值。很巧地，在1872年，維爾思垂斯等人不約而同地提出各種（實質上相同的）描述實數系統的方法。有了嚴格定義的實數系統做基礎，這個問題就迎刃而解了。

二、如果猜到極限值為某值，如何嚴格地證明這就是我們要的極限值？譬如 ， ，則我們猜到 ，但怎麼證明呢？為了回答這個問題，維爾思垂斯引進了所謂的 （唸做 epsilon delta）方法。

如此，微積分經過兩世紀之久，才從誕生經成長而邁向成熟的階段。

1. 設函數 f(x) 可用冪級數表出： ，試用牛頓的方法證明 f'(c)=a₁。

   回憶全文，試著回答下面的問題。

2. 積分學的演變過程如何？試比較各法的優劣。
3. 微分學的演變過程如何？試比較各法的優劣。
4. 極限觀念在微積分中所佔的地位為何？
5. 微積分的應用範圍如何？
6. 微積分學在發展的過程中，遭遇到的困難有那些？