人類進入了農業社會後，因為丈量土地、建穀倉、築宮室等等的需要，求積的方法就日形重要起來。

首先，人類可能用一日的行程、一頭牛一天可耕過的土地等方法來量長度、算面積。但隨著精確度的要求，長度及面積都必須要有固定的單位。

通常面積都是以某種正方形為單位的（譬如一平方公尺）。由此出發逐步可得一般正方形的面積為一邊的平方，矩形的面積為長乘寬，平行四邊形的面積為底乘高，而三角形的面積則為底乘高之半。因多邊形可分劃成三角形之和，所以其面積也可求得。除了這些圖形之外，最簡單、最吸引人也最實用的可算是圓形了。那麼圓形的面積怎麼求得？在此我們觸到了積分學的源頭了。

「圓形的面積是多少？」「圓周率乘半徑的平方。」「圓周率是什麼？」「圓周與直徑之比。」「比值是多少？」「3.14」「再精確點！」「3.1416」「再精確點!!」「3.1416……」「……是什麼？」「？」

圓周率通常以希臘字母 π 來表。大家都知道求圓面積就等於求圓周率。那麼圓周率到底是多少？怎樣求得它的近似值呢？

據史籍所載，四千年前的巴比倫人用 做圓周率，同時期的埃及人則用 ，而三千年前的中國人則用3。其後有用 、 、、3.14 等等來代表圓周率。 這些都是近似值，有的純由經驗求得，有的則佐以一些理論。此外，最值得稱道的是西元前三世紀的希臘科學家阿基米德（Archimedes, 287∼212 B.C.）算得圓周率介於 及 之間，而三國（大約西元260年）時的劉徽，則得其近似值為 3.14159。他們的特色是提供一套能夠計算圓周率值精確到任何位數的方法──至少理論上可行。

阿基米德的方法是由圓內接正六邊形出發，先計算其周長，做為圓周長的一個近似值，然後再由此周長計算內接正十二邊形的周長，做為圓周長更正確的近似值。如此邊數逐次倍增。則所得周長雖仍然小於圓周長，但卻愈接近圓周長。一般而言，單位圓內接正 n 邊形和正 2n 邊形兩者周長 S_n 和 S_2n 之間，有一代數關係 ，如果前者已知，則後者亦可求。同時阿基米德又用外切正多邊形的周長從外方逼近圓周長。當內接及外切正多邊形的邊數為96時，阿基米德就得到他的圓周率估計值。阿基米德的方法源自所謂的「窮盡法」(method of exhaustion)。古希臘數學家尤多緒斯（Eudoxus，約 408∼355 B.C.）就有用已知的面積（或體積）逐漸窮盡某一面積（或體積）的想法，再輔以一些技巧而證明了「兩圓面積之比等於其半徑平方之比」，「兩球體積之比等於其半徑立方之比」，「圓錐的體積為同底等高圓柱體積的三分之一」等定理。

劉徽則用正多邊形的面積來逼近圓面積，當邊數增加到3072時就得到他的近似值。這種逼近方法原理雖然簡單，但計算時要不斷開平方，過程非常繁複。南北朝的祖沖之（429∼500）居然算到16384邊，而得知圓周率介於3.1415926與3.1415927之間。

這種圓面積的算法雖然繁複，但其逼近的原理卻發展成了積分學。（關於圓周率，可參考《科學月刊》第十卷第八、九、十期(1979)的「益智益囊集」或 Petr Beckmann 原著，姜家齊、朱建正、林聰源合譯的《π的故事》，凡異出版社。）

1. 平行四邊形與三角形的面積公式如何求得？
2. 你怎樣使別人相信圓的面積等於圓周率乘半徑的平方？
3. 設 S_n（或 T_n）是半徑為1的內接（或外切）正 n 邊形邊長。試求以 S_n（或 T_n）表 S_2n（或 T_2n）的公式。
4. 求 S₉₆ 及 T₉₆ 之值；由此驗證阿基米德的估計 。
5. 設 A_n（或 B_n）是半徑為 1 的內接（或外切）正 n 邊形面積。試求以 A_n（或 B_n）表 A_2n（或 B_2n）的公式。
6. 求 A_2n 與 S_n 的關係，並由此比較用正多邊形周長及用其面積逼近孰優孰劣。
7. 求 B_n 與 T_n 的關係。
8. 求 A₃₀₇₂ 與 B₃₀₇₂，並由此驗證劉徽的估計 。
9. 請你想想祖沖之算圓周率時所可能遭遇到的困難。
10. 試證 A_2n 為 A_n 及 B_n 的幾何平均，而 B_2n 為 A_2n 及 B_n 的調和平均。
11. 若 P_n，Q_n 分別表圓內接及外切正 n 邊形的周長（即 P_n = n S_n，Q_n = n T_n），則 Q_2n 為 P_n 及 Q_n 的調和平均，而 P_2n 為 P_n 及 Q_2n 的幾何平均。