微積分史話 (第 4 頁)

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微積分史話（第 4 頁）

曹亮吉

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．原載於科學月刊
．作者當時任教於台大數學系
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3. 無窮小與求積

阿基米德之後，後繼無人，直到文藝復興時代，古希臘之學逐漸受西方重視，科學漸興，求積問題才引起很多人的探討。

為了求得更多的面（體）積，大家放鬆對嚴謹的要求，幾乎捨棄了阿基米德步步為營的精神。這之中經得起考驗而日後成為積分學主要思潮的有兩種方法，其一就是把面（體）積看成由無窮線條（薄片）所組成的無窮小方法；另外一個是經過改良的窮盡法──動態窮盡法。第一種方法訴諸直觀，雖然論證欠缺嚴謹，卻予積分學的發展很大的動力；第二種則論證較嚴謹，終於使求積方法有了深厚的數學基礎。

在這一節裏，我們光看無窮小與求積的關係。

無窮小

無窮小的觀念起源很早，到文藝復興以後，用它求積的人很多，且看法、求法各有千秋，我們只能舉幾位代表性人物，如刻卜勒（J. Kepler, 1571～1630）、伽利略（Galileo Galilei, 1564～1642）及卡法里約利（B. Cavalieri, 1598～1647）等人。

刻卜勒認為圓是個無窮邊正多邊形，所以圓面積等於無窮個無窮小三角形的面積和。每一三角形的高為圓的半徑，而其無窮小的底邊則在圓周上。因為每一三角形的面積為 $\frac{1}{2}$ ×半徑×底，所以這些三角形的面積和為 $\frac{1}{2}$ ×半徑×圓周。同理，他認為圓球是由無窮小的圓錐體所組成，每一圓錐體的頂點就是圓球的球心，高就是半徑，而底面積（無窮小）則在球面上，由此可推得圓球體積為 $\frac{1}{3}$ ×半徑×球面面積。除此之外，他還求得一些面積和旋轉體的體積。

距離與面積

伽利略在討論等加速運動時，用無窮小的論證法證明時─速曲線下的面積就是距離，這是求積的應用跨出純粹求積範圍的一大步。他的想法如下：設一物的運行速度 v 和時間 t 的關係為 v = 32t，則在 t-v 坐標中，該關係由一直線 OB 所表（見圖五）。在任一時刻 A' 的速度等於 A'B' 長，所以在此時刻所走的距離為 A'B' 長乘以「無窮小」的時刻，即「線條 A'B' 的面積」。當時間由 O 變到 A 時，線條 A'B' 也逐次由 O 變到 AB，所以總距離為諸線條 A'B'「面積」之和，也就是 $\triangle OAB$ 的面積。設 A 點的坐標為 t，則距離 = $\triangle OAB$ 的面積 = $\frac{1}{2} \times t \times 32t = 16t^2$ 。

圖五

速度是距離的變化率，而將速度函數「求積」則回到距離函數，這種求積與變化率的互逆關係，就是所謂的微積分基本定理。當然，那時候時機還未成熟，伽利略沒辦法有這麼深刻的認識。

以嚴謹的眼光看無窮小方法，會發現它有種種的困難，譬如，什麼是無窮小？無窮個無窮小的和又是什麼意思？雖然很多人想辦法要把這些幾何觀念嚴密化，但一直沒有成功。直到最近經羅賓生（A. Robinson, 1918～1974）等人的努力，無窮小的觀念才有了數學基礎。但要深入了解無窮小的數學，卻需要有些邏輯學的訓練，一般人是否能經由此途徑學得微積分，還有待時間的考驗。

無窮小方法雖然身分一直不明，但若謹慎使用，用處也很大，所以深受數學家的歡迎，譬如，卡法里約利就用無窮小的方法推算出很多面積。但是許多人對其不嚴密性深感不安，而另謀發展途徑，其中最有成就的是下一節要談的動態窮盡法。

卡氏原理

無窮小方法除了提供直觀看法外，還留下一條非常有用的卡氏原理 (Cavalieri Principle)。卡氏原理不但是直觀的產物，而且是可用現代微積分學證明的一個定理。我們先用一個例子來說明卡氏原理的大意。如圖六，設 $\triangle ABC$ 、 $\triangle DEF$ 等底等高，我們可用無窮小方法證明其面積相等：設 B'C'、E'F' 為分別平行於 BC、EF 的直線，且距底邊等高，則由比例可知 B'C'=E'F' 。既然 $\triangle ABC$ 、 $\triangle DEF$ 分別由相等的線條 B'C'、E'F' 所組成，所以兩三角形應該有同樣的面積。

圖六

卡法里約利所提的原理可由下面兩段文字來表示。

一、如果兩立體具有同樣的高度，而且與底等高且平行於底面的截面積兩兩成固定的比值，則這兩個立體的體積比等於該固定的比值。

二、如果兩面積具有同樣的高度，而且與底等高且平行於底線的截線長兩兩成固定的比值，則這兩個面積的比等於該固定的比值。

可注意者，卡氏原理雖由直觀而得，但其內容卻不含任何曖昧字眼（如無窮小等）；用現代的眼光來看，它是個定理。反覆利用這個原理。卡氏證明了圓錐體的體積為同底等高圓柱體體積的三分之一。

不但西方有卡氏原理，中國也有，而且要早千年之久。南北朝時的祖沖之，就一再巧用這個原理，不用現代微積分技巧，就求得球體體積的公式（請參考附錄一）。卡氏原理也應該叫做祖氏原理！

我們現在用這個原理來求橢圓的面積。

例：若橢圓的方程式為 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ，則其面積為 $\pi ab$ 。

圖七

證：如圖七，以橢圓的短軸為半徑做圓，我們要用卡氏（祖氏）原理來比較橢圓和圓的面積。作任一直線平行於長軸而得橢圓的截線 LL' 及圓的截線 MM'。由坐標的計算知 $\frac{LL'}{MM'}=\frac{a}{b}$ ，為固定比值。所以由卡氏（祖氏）原理知

$\begin{displaymath} \frac{\mbox{{\fontfamily{cwM16}\fontseries{m}\selectfont \ch... ...family{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 9}}}=\frac{a}{b} , \end{displaymath}$

即橢圓面積 = $\frac{a}{b}$ 圓面積 = $\frac{a}{b} \pi b^2=\pi ab$ 。

習題

用我們習知的公式，說明刻卜勒所得球體體積及球面面積間的關係是正確的。
設兩拋物線 y=2x-x² 及 y=-2x²+12x-16 與 x 軸所圍成的面積各為 A 及 B，試用卡氏原理求 A 與 B 之比。又，用§2的結果求 A 及 B。
把文中求橢圓面積的證明補足。
用卡氏原理求橢圓體 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的體積。
若已知金字塔的體積公式為 $\frac{1}{3}$ ×底面積×高，試求圓錐體的體積公式。
下面是一種求金字塔體積公式的方法：(1)將一正立方體等分成三份，每一份成斜金字塔形，其底為正立方體的一面，其高為正立方體的一邊。 (2)將一般的金字塔和這種特殊的斜金字塔相比。
將伽利略的論證推廣，說明任一時─速曲線（不一定直線，即不一定是等速運動）下的面積就是距離。
下面是一種求圓球體積的方法：考慮高及半徑各等於圓球半徑的圓柱體。考慮以該圓柱體頂面為底，圓柱體底面中心為頂點的圓錐體。將圓錐體從圓柱體中除去後所剩下的體積和半球體體積相比即得。

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編輯：楊佳芳 ∕ 校對：楊佳芳 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002