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微積分史話 （第 6 頁）

曹亮吉

 


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．原載於科學月刊
．作者當時任教於台大數學系
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5. 微分學的醞釀

十七世紀的前三分之二，可以說是微積分學的醞釀時期。那時候因為科學的進步，除了求積的問題外，數學家還考慮種種其他的問題，其中最重要的有：

一、由距離求速度及加速度；反之，由加速度求速度、求距離。
二、作曲線的切線。
三、求函數的極大值、極小值。
四、求曲線長、面積、體積、重心。

第四類問題起源較早，我們大致已經談過。值得補充的是，到十七世紀大家已經知道求曲線長或重心的問題，都可化約成為求面積、體積的問題。

關於第一類問題的第二部分，我們已經談過伽利略的看法。他是對的：由速度函數求積就得到距離函數。

剩下求速度、切線及極大、極小的問題，就是我們這一節所要談的主題──微分學。

由於文明的推進，靜態事物的研究已經不能滿足人類的需要，動態的世界逼著科學家研究起速度來；從純幾何的觀點來看，數學家對任何曲線都要想辦法求其切線，而光學上的需要更促使科學家急著尋找作切線的方法；人總是想用最經濟的辦法做最高度的發揮，而描述自然界現象的函數，往往在其極值時有特殊的物理意義，這種種都使人關心起求極值的問題。

   
 
瞬間

平均速度的觀念很容易使人接受，但（瞬間）速度的觀念則使人類奮鬥良久，才弄得清楚。刻卜勒的行星運動定律、伽利略的落體運動定律、鐘擺、拋射體的運動等等，當時大家有興趣的問題都顯示運動常常不是等速的，所以（瞬間）速度的研究有其必要。最早的想法，瞬間速度就是「瞬間」的平均速度。但「瞬間」到底是多短呢？如果這一「瞬間」沒有長度，則在這一「瞬間」內距離沒有什麼變化，所以

\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM7}\fontseries{m}\selectfont \char 109}... ...y{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 147}} } = \frac{0}{0} . \end{displaymath}

$ \frac{0}{0} $ 不是個數，自然不能表速度，所以此路不通。好了，「瞬間」一定要有長度。但所謂的長度如果是通常觀念中的長度，那麼它的一半不也是長度嗎？那麼「瞬間」怎麼還能稱做「瞬間」呢？此路又不通！那麼「瞬間」到底是什麼？於是有人想出絕招說：「瞬間」的長度為無窮小，它不為 0，但比任何的長度都要小。又遇到了「無窮小」！

同樣地，當時作切線、求極值時都要訴諸無窮小方法。我們談積分的時候，說到無窮小的觀念雖然訴諸直觀，但其運算卻沒有嚴格的基礎，當時只能用一些巧妙的方法求得零星的結果。直到後來才知道用極限的觀念及技巧來代替無窮小，而做嚴格且有系統的處理。求速度、切線、極值這些微分學方面的歷史發展也是一樣，有無窮小的觀念，有巧妙的方法，有極限的方法。

大概說來，積分的觀念容易懂但計算難，而微分正好相反，難懂而易算。為了不使大家像前人一樣，陷入微分觀念的泥沼裏，我們先用極限的方法弄清楚了微分的觀念後，再回過頭來看前人如何在泥沼中用巧妙的方法掙扎著。

例： 設距離 y 與時間 x 的關係為 y=x2，求在時間 x=2 時的（瞬間）速度。

解： 用極限方法的要點就是先看 x=2 附近的區間內的平均速度，然後讓區間逐漸縮小到 2 這一點，看平均速度是否趨近於某定值；如果是，則該定值就被定義為這時刻的（瞬間）速度。

通常區間的選擇方法是從小於 2 的某時刻 x 到 2；同時也考慮從 2 到大於 2 的某時刻 x。不論 x 大於 2 或小於 2，在這區間內的平均速度應該是

\begin{displaymath} \frac{ \mbox{{\fontfamily{cwM9}\fontseries{m}\selectfont \ch... ...4}\fontseries{m}\selectfont \char 207}}} = \frac{x^2-2^2}{x-2} \end{displaymath}

因為這個平均速度和 x 的取法有關，所以表成函數

\begin{displaymath} D(x) = \frac{x^2-2^2}{x-2} \end{displaymath}

下一步就是要讓 x 趨近於 2，來看看 D(x) 的變化情形。當 x 趨近於 2 時，D(x) 的分子和分母同時都趨近於 0。又是 $ \frac{0}{0} $ 的情形！在 §4 中講費瑪的方法時，不是也遇到這種情形嗎？所以我們知道該怎麼做：先把分子、分母約分，得 D(x) = x +2。現在讓 x 趨近於 2，則知 D(x) 要趨近於 4。用符號及式子寫下來，則有

\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 167}... ... } \frac{ x^2-2^2 }{ x-2 } = \lim_{ x \rightarrow 2}(x+2) = 4 \end{displaymath}

不但在 x=2 可以求得速度，在任一時刻 x=x0，求速度的方法也是一樣：

\begin{displaymath} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 202}... ...c {x^2-x_0^2}{x-x_0} = \lim_{x \rightarrow x_0} (x+x_0) =2x_0 \end{displaymath}

這種求速度的方法不限於 y 和 x 間要有如 y=x2 的特殊關係，只要 y 和 x 有任何關係 y=f(x)，我們都可以考慮在 x0 附近的平均速度

$D(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，然後考慮 $\lim_{x\rightarrow x_0}D(x)$，即當 x 趨近於 x0 時 D(x) 的極限值。如果極限值存在，我們就說該極限值就是在 x0 的速度。

例： 設有曲線 y=x2 ，求經過曲線上一點 P(2, 4) 的切線。

解： 切線是一條直線，現在我們有了其上的一點 (2, 4)，如果用點斜式表此切線，則需要求其斜率。設在曲線上任取一點 Q，做割線 PQ（見圖十一）。當 Q 點向 P 點趨近時，割線 PQ 的方向應該趨近於切線的方向，也就是說割線 PQ 的斜率要趨近於切線的斜率。（回想一下「斜」率的意義！）


圖十一

割線的斜率為 $\frac{y-4}{x-2}=\frac{x^2-2^2}{x-2}$。這不就是上例中的 D(x) 嗎？讓 Q 點趨近於 P 點，也就是讓 x 趨近於2，也就是求 $\lim_{x \rightarrow 2}D(x)$，正是上例中的速度。 因為 $\lim_{x \rightarrow 2}D(x) = 4$，所以切線的方程式為 y-4 = 4(x-2)。同理，求過曲線上任一點 (x0, y0) 的切線斜率也就是求 $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}$。不但如此，求過一曲線 y=f(x) 上任一點 P(x0, y0) 的切線斜率，其方法和求速度完全一樣：任取曲線上一點 Q(x,y)，得割線 PQ 的斜率為 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，而切線的斜率則為

\begin{displaymath} \lim_{Q \rightarrow p} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{displaymath}

   
 
微分

既然求斜率及求速度的方法完全一樣，為了綜合也為了推廣，對任何函數 y=f(x)，都可以考慮平均變率 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 及其極限值（瞬間變率） $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。如果極限值存在，則稱此極限值為函數 f(x) 在 x0 的導數(derivative)，記做 f'(x)。若 X0 在某範圍內，f'(x0) 都有定義，則 X0 到 f'(x0) 的對應是一種函數，稱做原函數 f(x) 的導函數，記做 f'(x)。 求導數的過程叫做微分 (differentiation)，研究變化率及其應用的這門學問叫做微分學 (differential calculus)。用微分的觀點來說，求速度和求斜率是一碼事（即求導數），可以一起考慮。不只如此。凡是想知道一函數 f(x) 在 x0 點因變數 x 而變化的情形，我們就要求其變化率，也就是 f(x) 在 x0 點的導數 f'(x0)。所以從現代的眼光看來，微分是求變化率，而速度與切線斜率只是其中的兩種特例。

導數的一大應用就是決定函數的極大、極小值。把函數 y=f(x) 用曲線表出（見圖十二），則過其極大值或極小值點的切線要平行於 x 軸。所以切線斜率要為 0。因此滿足 f'(x)=0 的 x0，可能（但不一定）就是函數 f(x) 取得極大或極小值的地方。


圖十二

現在來對照一下，在沒極限觀念之前，大家是怎麼求速度、切線及極大、極小值。

   
 
啤酒桶

刻卜勒最先注意到極值與變化率之間的關係。他在計算啤酒桶的體積時，想到了種種的極值問題。譬如，他曾證明內接於一定球內的圓柱體體積，要以直徑與高度之比為 $\sqrt{2} : 1$ 者為最大。他列了一連串圓柱體直徑與高度及其相對應體積的數據，從其中取體積最大者而得其「證明」。在檢視數據時，他發現一項有趣的事實，即，將近極大值時，體積的（隨直徑或高度而變的）變化率變得愈來愈小。根據這種觀察費瑪用無窮小方法解決了一些極值問題。下面是一個例子。

例：設一線段長為 a，將它分成兩段，以之作矩形的兩邊。問如何分法，使所得的矩形面積最大。

解一：（微分的方法）設兩段長各為 x 及 a-x，則面積為 f(x)=ax-x2。 若 x=x0 時有極大值。則求導數 f'(x0)=a-2x0，令其為 0 而得 a=2x0，即將原線段等分可得最大面積。（等周的諸矩形中以正方形的面積為最大。

解二：（費瑪的方法）設兩段為 x0 及 a-x0 時面積最大，則矩形面積為 ax0-x02。設 E 為無窮小量，以 x0+E 代替面積公式中的 x0，而令之與原式相等： a(x0+E) - (x0+E)2 = ax0-x02，化簡得 a0E = 2x0E + E2，除以 E 後得 a=2x0+E，丟掉無窮小量 E，得 a=2x0。

根據刻卜勒的觀察，當 f(x) 近於極大值時，其變化率愈來愈小，所以費瑪認為在 x0 及其無窮小近鄰 x0+E 的 f 值應該相等，這是費瑪方法的關鍵處（妙著！）。得 a=2x0+E 後，因 E 為無窮小，起不了作用，所以過河拆橋就把它丟了（又是一妙著！）。但在求得 a=2x0+E 前要先以 E 去除，否則一下子把 E 丟掉（E=0）則什麼都沒有了──還沒過河不能拆橋！

仔細比較兩種解法，會發現解二其實就是解一：令 x=x0+E，則 a(x0+E)-(x0+E)2 = ax0-x02 就是 f(x)=f(x0)；化簡除以 E(=x-x0) 後就得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0$；丟掉無窮小 E 其實就是令 x 趨近於 x0，而得 f'(x0)=0。

   
 
狡滑的無窮小

費瑪的方法巧則巧矣，但就像積分中的無窮小方法一樣，有許多地方不能令人信服：把 f(x0+E) 和 f(x0) 相等及丟掉 E 時，就是認為 E=0；但用 E 除等式時，則認為 $E \neq 0$，這是無窮小神秘狡滑的兩面性。但是也像積分中的無窮小方法一樣，微分的無窮小方法頗受數學家的激賞，直到兩個世紀後，導數有了嚴格的定義，才能完全取而代之。

   
 
切線

最早的切線觀念，大概是研究圓而有的。早期的數學家認為切線就是只交曲線於一點的直線，而其求法則依曲線而有不同。有了解析幾何，笛卡兒（R. Descartes, 1596∼1650）想到用求重根的方法來求切線的方程式。但如果遇到複雜一點的曲線，則求重根的方法非常不好用，而且切線也不一定只交曲線於一點。另外有一種方法，就是把曲線看成一物體在水平及垂直兩方向有了速度而描出的軌跡，所以切線應該是水平及垂直兩速度向量的合向量。羅伯瓦（G.P. Roberval, 1602∼1675）、托里拆利（E. Torricelli, 1608∼1647）等人就用這種看法求得不少曲線的切線。但曲線怎麼一定和運動有關呢？況且求速度的問題也和求切線的問題一樣，大家還在摸索之中。可是這種看法卻大受歡迎，日後且演變成牛頓的流數法──一種微分法。


圖十三

費瑪求切線的方法如下：設 PT 為過 P 點的切線，交橫軸於 T （見圖十三）。TQ 稱為次切線(subtangent)。費瑪的方法就是想辦法求得 TQ 長，以之決定 T 點，由 T 點就可作切線了。設 QQ1(=E) 為 TQ 方向的無窮小增加量。因 $\bigtriangleup TQP$ 與 $\bigtriangleup PRT_1$ 相似，故 $TQ = \frac{E \cdot PQ}{T_1R}$。但 T1R 幾乎和 P1R 相等（因 E 為無窮小），所以用後者代替前者可得

\begin{displaymath} TQ = \frac{E \cdot PQ}{P_1Q_1-PQ} = \frac{E}{f(x_0+E)-f(x_0)}f(x_0) . \end{displaymath}

在費瑪所考慮的曲線，上式右邊的分母都很容易提出 E 而與分子的 E 約掉， 然後丟掉 E（E=0），求得 TQ 的值。

仔細研究一下，就知道費瑪的方法和現在的極限求導數的方法相近：以 P1R 代替 T1R 就是先以割線代替切線；丟掉 E 就是極限的方法。只是當時動態的極限觀念還待萌芽，只能以具有兩面性的無窮小量來代替了。

這時代求速度或求變化率時所遭遇到的困難和求極值、切線時所遭遇的一樣，大家都沒有明確的極限觀念來處理「瞬間」的問題，只能訴諸神秘的無窮小方法。其典型的技巧及改進的方向將在下一節談到。

   
 
習題

  1. 在求速度的例中，不把 D(x) 的分子分母約分，試用實際的 x 值，如 x = 1.7, 1.8, 1.9, 1.95, 1.99, 1.999, 2.001 ……等，看 D(x) 是否趨近於 4。
  2. 若 f(x) = ax-x2，試用極限法證明 f'(x0) =a-2x0。
  3. 若 f(x)=x3，試用極限法證明 f'(x0) = 3x02。
  4. 分別用費瑪及求導數的方法證明內接於定球內的圓柱體體積，要以直徑與高度之比為 $\sqrt{2} : 1$ 者為最大。（提示：令 x 為高度，f(x) 為體積。）
  5. 在上題中，試著造數據表說明刻卜勒所觀察到的現象。
  6. 純用幾何方法如何求各種二次錐線的切線。
  7. 用重根法求各種二次錐線的切線？
  8. 用重根法求曲線 y=x3 在 x=1 時的切線，並推而廣之。討論 y = xn(n>3) 時，用重根法求切線有沒有困難。（提示：令切線斜率為 m，則 m 滿足一個三次方程式，此方程式有二解。）

   

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編輯：楊佳芳 ／ 校對：楊佳芳 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：2/17/2002