數學的本質

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．作者當時任職於中央研究院數學所

‧註釋

數學的本質

李國偉

現代數學在方法上的特徵
現代數學在內容上的特徵
有關數學本質的基本問題
算術學發展史鳥瞰
數學的本質

現代數學在方法上的特徵

現代數學在方法上最明顯的特色是它的演繹性，就是由基本定義與公理出發，經邏輯推論到所有定理的發展方式。採取這種方法並非偶然，而是有內在的需求。我們要把一套概念講清楚，必須用比較簡單的概念來解釋，但是這些概念又需要再加澄清，如此繼續下去，如果不曾周而復始得到一個什麼也說不清的惡性循環，便會無限延伸下去，達到一個不可知的前端。人類尋求知識的目的在組織自己對外在的認識，而去了解事物的表象與本質，因此在沒有墜入不可知的深淵前，必定會在某些我們直覺已認為意義相當清晰的概念處停住。我們把這些概念作為理論發展的基礎，不再去解釋它們的意義，也就是說暫時拋開它們的具體內容。這些概念我們稱為基礎概念。從此以後在我們理論發展的過程中，一切的概念都要由這些基礎概念定義出，否則便不能採用。基礎概念間如果彼此毫無關聯，顯然無法用來建立起一套有意義的理論，那麼在聯繫起基礎概念的敘述中，我們又必須挑出一些在認識上感覺最明白的作為出發點，這些敘述我們稱為公理。自此我們便用邏輯的方法，由基礎概念與公理演繹出所有的定理，而一切不能由這個程序推得的敘述，我們便不認為它是這套理論裏正確的命題。現代數學中各門理論，基本上都是由這個演繹方法組織起的。不過比較複雜的理論，除了自己的基礎概念及公理外，常常要引用別的理論的結果。所以嚴格說起來，那些理論的基礎概念及公理也必須包括進來。但是為表達的簡明，我們通常不這樣全套寫出。譬如大部分的理論都引用集合論的概念與定理，而一切數學理論系統必須立足於邏輯系統上，否則便無法作推論了。

現在我們來看一個極簡單的演繹系統。

倘若我們想了解線段全等的一般性質，我們可用兩個基礎概念：S（所有線段的集合）， $\equiv$ （全等關係）。我們有兩條公理：

公理一：
對於 S 中任何元素 x 而言， $x\equiv x$ 。

公理二：
對於 S 中任何元素 x,y,z 而言，若 $x\equiv y$ 且 $y\equiv z$ ，則 $z\equiv x$ 。

這套小理論當然已引用了邏輯與集合論中的概念，所以嚴格說起來已相當繁雜了。現在我們來證明一小定理：

: 定理：
對 S 中任何元素 x,y 而言，若 $x\equiv y$ 則 $y\equiv x$ 。

證明：若令公理二中的 z 為 y，便知 $x\equiv y$ 且 $y\equiv y$ ，則 $y\equiv x$ 。但是公理一告訴我們 $y\equiv y$ ，已有的假設告訴我們 $x\equiv y$ ，故可證得 $y\equiv x$ 。

由上面的簡單證明可看出，事質上 S 是不是所有線段的集合，「 $\equiv$ 」是不是線段全等的關係並不要緊。對於任意給的集合 S 及其上的二元關係「 $\equiv$ 」，只要它們滿足公理一、二，則定理自然成立。例如我們可令 S 為所有自然數的集合，「 $\equiv$ 」指同餘於某個模數的關係。

前面說過在演繹系統中，基礎概念原來的具體內容已拋棄，所以我們可用其他的具體事物來解釋它，任何這種解釋如果又滿足所有公理，則我們說這套解釋構成原來理論的一個模型。上面的觀察告訴我們一旦定理得證，則此定理在任何模型中也成立，我們就不需要在各個具體的系統中重複同樣的證明了。

總結來說，演繹方法是組織起數學知識的最好方法。因為他可以極大程度的消去我們認識上的不清與錯誤，如果有懷疑的餘地，也都回歸到對基礎概念及公理的懷疑。而且定理函蓋了種種的具體特例，精簡與組織了我們對外在世界的認識。 ^註1

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：4/26/2002