算術學是數學中歷史最悠久的一支，從以上的發展簡史中，我們可看出它的基本性質，它們也就充分代表了一般數學的基本性質。現在我們可以嘗試回答第三節中提出的問題了。
一、數學的研究對象是什麼?
數學的概念不是無中生有故意造出來的，也不是人類天生就有的，而是客觀世界的活動不斷在人腦留下痕跡，人腦逐步主動反映外在具體事物，分析並推廣無數量的具體經驗，經過漫長歲月發展出來的。然後人因為日漸熟練的運用已經有的抽象概念，便再一步推廣與抽象，得到更加深刻的觀念。如此繼續不斷，發達到今天高深的各種數學部門。現在看起來數學裏五花八門的名堂好像與現實世界無關，但它們的本原都是由反映現象世界而來。數學絕非空洞的符號遊戲，它的最終研究對象就是客觀的世界。
二、數學方法的基礎是什麼?
從歷史的經驗中，我們可知數學與邏輯的法則不是任意規定的，它們反映了無數代累積的運算具體事物，思考具體關係的經驗。因此它們的意義在人的心智上變得十分明確清晰而有權威性。並且因為客觀世界的均勻穩定性，使得這些規則不會有異動。於是
具體與實質世界的真理性，也就是數學方法的基礎。
三、數學為什麼有那麼廣泛的應用性?
因為數學不僅抽象出個別事物的概念，並且進一步抽象出一般概念的公通性質。這類性質是不受物體普通物理性質所局限的，因此它有更普遍的真理性。只要這一系列的抽象不是從空洞的事物出發，它的抽象性就必然保證了它的廣泛應用性。
數學抽象的基礎是客觀世界的量與形，因此數學的作用雖然不像螺絲刀、老虎鉗這一類工具，但是一旦涉及事物間的深層關聯，自然要用到數學。
四、數學繼續發展的基礎是什麼呢?
從人類歷史的經驗中也可找到解答。社會生活的實際需求便是數學發達的基本動力。這並不是說所有數學都是為解答已有的實際問題所產生，有時候抽象的數學概念會跑得快一點，暫時不好應用，等到工技夠發達後才有用處。譬如複數原來被認為是虛幻的數，後來卻成為電學理論最基礎的盤石。然而無論如何在解決實際問題的過程中，人發展了新的技巧，新的概念，提供了一個比較成熟比較更完善的知識背景，使得人能解決一些暫時看來與實際問題無關，純粹數學興趣的問題。總之，因為人類社會生活的不斷繁雜，人類控制自然的能力日漸加強，人類對客觀世界的認識繼續深入，新的數學問題才會層出不窮，提拱了更豐富的數學素材。
|
