從方法上，從內容上，我們對現代數學的特徵已有了基本的掌握，但是事物的表象只反映了事物的本質，而非本質的自身。於是面對著數學的演繹系統，它的抽象性、嚴密性、應用性，我們還有幾個更基本的問題有待深入了解。

1. 數學的概念既然是抽象的，它們到底反映了什麼？也就是數學真正研究的對象是什麼？

2. 數學的基本觀念極淺顯，而它的抽象推論結果又不容人懷疑，這種權威性從何而來？也就是數學方法的基礎是什麼？

3. 為什麼抽象的數學卻有這麼多具體的應用，這種看似矛盾的現象如何解釋？

4. 這樣一種抽象的東西，為什麼從古到今不斷發展愈來愈興盛？也就是數學發展的基礎是什麼？

現代數學的內容愈來愈豐富，因此要了解與掌握數學的本質，我們比古代人更加迫切需要解答以上的問題。本世紀以來很多出色的數學家都對這些問題發表過意見，提過許許多多的解答。在歐美，基本上匯集成所謂邏輯主義，形式主義，直觀主義三種鮮明的主張，以及形形色色的騎牆派。經過半世紀多的爭論，我們現在綜合各家的長短，發現邏輯學派想把人的抽象認識回歸到原始的邏輯概念，但是無法說清邏輯觀念的本原。形式學派避開本原的問題，認為數學純粹是符號的遊戲，因而不能解釋數學的意義及應用性。直觀學派想把數學中過分抽象推論法，換成比較不太抽象的法則，但因方法的局限性又陷入另一個泥淖，始終無法由他們的系統建立起適於應用的數學系統。總而言之，如果我們片斷的割離某些數學的特性，把它孤立起來作為整個數學的發展點或基礎，便遲早會鑽進死犄角，建立不起活潑生動妙用無窮的數學理論。 因此要了解數學的本質，必須捨棄靜觀的方法，而從人類認識的歷史發展上求動態的解答。也就是說數學的真理性是無法由任何空洞的理論來保險的，而必須從人類生存的歷史經驗中獲得證實。 這一點我們將以算術學的發展為例，加以闡述。