一、數的概念： 當一群物體呈現在眼前時，我們所覺察的是物的整體，如果要清晰的分開它的各種屬性及相互的關係，必須經過意識的加意整理。譬如我們不懂音樂的人聽到一首交響曲只是整體的感覺美與不美，但是一位音樂家聽到了，馬上可以察覺到曲子的調性、主題、配樂等等細節。因此任何概念成立的最原始狀態只是籠籠統統的感覺事物的存在。第二步就會拿具體的事物來排比。好像還沒有完全抽象出「黑」這個概念時，人會說:「像隻烏鴉」「像塊炭」等。再進一步，概念已與事物結合著出現，但是未曾獨立出來，例如波羅的海小國立陶宛語言中，有各種形容詞用來說「灰鴨」「灰馬」，但是就是沒有單獨的「灰」字。認識到最高的階段人就會有單獨的抽象的概念了。

我們目前只討論自然數概念的演化，這個過程也經歷了上述的各階段。

據一位十八世紀的傳教士報導，南美的Abipone印地安人的數目只有一，二，三，但他們遷移時，大群大群的狗，就是少了一隻，他們也會立刻發覺。這還是認識數的第一階段。在第二階段中，最常見的是許多原始文化用代表「手」的字來代表「五」。第三階段明顯的例子有飛支群島人說十條船bala，十個椰子koro，一千個椰子saloro,數與名詞整個融合在一起，而不曾形成完整的數列。在比較發達的文化中，代表數的字有時和其他形容詞一樣有語尾變化，例如:「二」字:

到了第四階段當然我們就有了 1,2,3, 這一系列的抽象數了。

從第三階段到第四階段其實是很困難的一步。因為數雖然是一群物體的屬性，但卻與其它屬性本質不同。例如「五頭牛」這個集合有「五」這個屬性，但是如果我們拿出一頭牛，它就沒有「五」這個屬性。又如果我們把「五頭牛」這個集合，看成一個整體，在這個整體的概念中「五」也消失了。那麼抽象的「五」到底從何而來呢?事實上「五」這個屬性是一切與我們一隻手上指頭能建立起一一對應的集合的通性。任何不能有這種一一對應的集合就不具有「五」這個屬性。所以要確切掌握一個抽象數的概念，人必須作過無數次的比較，也就是必須累積無數世代的歷史經驗。

二、數的關係及記數法: 當概念脫離具體的物體獨立出來時，它已經沒有任何實質內容。我們所以還能了解與掌握它，是因為我們知道控制它的法則，以及概念與概念間的關聯。完全與別的概念不發生關係的獨立抽象概念，只是很無聊的遊戲罷了。因此當數的概念逐漸產生時，數與數之間的運算關係也逐漸明瞭。這類關係正反映了具體物件的加、減、乘．除的運算。在某些語言中，數字本身的名字也提供了數與運算並生的歷史。例如法文中80是quatre-vingts(四個二十)。更原始的某些南太平洋島民記數法是urapun,okasa,okasa urapun,okasa okasa,okasa okasa urapun,。

如果數與運算的觀念一直局限在小數目中，算術學還是無法成立的。人的社會隨著歷史的發展愈來愈需要運算較大的數目，政府需要稅收，牧人需要計數牲口，買賣需要計價等等，例子不勝枚舉。首先感到壓力的便是記數法必須改良。數既然是抽象的概念，如果沒有具體的名字與符號代表它，便難以運用。小的數目我們還可以用具體的同數物件來想像，一旦數目大了譬如15674，就很難用一堆小石子來想像它的確切大小了。好的記數法可以使我們的心智脫離具體物件的羈絆，向更高的數的領域前進。不僅如此，好的記數法能方便運算，促進算術的發達。例如羅馬人的記數便很笨拙，372寫作CCCLXXII，會用這種符號算出372的平方恐怕都很天才了，所以羅馬人雖然建立過龐大強盛的帝國，但在數學的貢獻上都近乎空白。在社會環境的需求下，人類最後總算發展出現在所謂的阿拉伯數字系統。這種記數法有兩大特色:第一它是十進位的，第二它是位置法的。第一特色顯然和人有十指有關，但是到底幾進位並沒有根本的不同。比較重要的是第二個特點。所謂位置法就是說雖然數字只有 0,1,2,,9 十個，但因它的位置不同，代表的意義也不同。例如 375 中，3 代表百的數目，7 代表十的數目。這種記法使得有缺位時必須用一個符號代替空掉的位置，否則 3 2 與 32 的意義會發生混淆。這種代替因而刺激了人逐漸認識了數目 0。

綜合這節所說我們可知，人腦反映具體事物的運算發展了抽象的數與其運算，但是抽象的概念又必須藉具像的符號來固定住，而這種具體的符號又剌激了抽象的成長與深入，終於使人的算術知識豐富起來。

三、抽象算術學的誕生： 到此為止人雖然累積了大量各別算術經驗，但仍然沒有抽象的一般的算術學。埃及，巴比倫，以及我國的數學古典中，已有許多具體的算術問題和解法，然而控制一般數的普遍規律還沒有說清楚。從世世代代運算累積的經驗中，人自然而然意識到某些規律的存在。例如把一組數加在一起，加的次序不會影響到最後的總和。另一方面人由一個個接續下的單獨數，意識到每次加 1 的構數法則，而徒生了無限數列的概念。於是關於個別數的性質就有可能推廣到關於一般數的性質。 抽象的算術學便在這個由個別達到一般的步驟中誕生了。 西元前三世紀，希臘人已成功的邁了這最重要的一步，歐幾里德《原本》中證明質數無窮多是最有名的例子。說明關於任意數的普遍性定理，事實上已經包括了無窮多個特例。它在內容上是豐富多了。從此算術學由處理給定的各別的數量關係，進昇到處理一切的數量關係。