李國偉

一、角的定義 二、技藝裡的角度 三、天文裡的「度」 四、幾何裡的「隅」與「角」 五、「角」的遞嬗 六、「角」與「度」的「格式塔」

一、角的定義

　　除了點、線、面、體之外，角度應該是人類幾何直覺不難掌握的一個概念。但是在中國古典的天文、曆學與數學中，角度的認識似乎有欠圓滿。錢寶琮曾說︰「中國古代不知利用角度，然有《周髀》測望術，日、月、星辰在天空中地位，亦大概可知矣。」〔註1〕他還說︰「在後世數學書中，一般角的概念沒有得到應有的重視。」〔註2〕關增建則說︰「中國古代 365 分度方法對於確定天體空間方位是有效的，惟其有效，才阻滯了其他分度方法的產生，導致了角度概念的不發達。」〔註3〕黃一農認為：「中國古代的天文家在明末西學傳入之前，一直未發展出近似西方幾何學嚴整的角度概念。當量度星體的角大小或兩點間的角距離時，文獻中所用古度值的意義常因人而異，有時近於現代的角度值，有時卻直接以渾儀環上的刻劃差來表示，故當以窺管測極星距極度或日、月的體徑時，其值往往較今幾何學中的角度值大一倍左右。」〔註4〕劉君燦更進一步斷言：「中國除了直角之外沒有一般的角度觀念。」〔註5〕

　　其實角度比點、線等基本幾何概念的內涵更為豐富，因此可以從邏輯上等價，但著眼點迥異的方向來認識它。若要講究起來，現代數學甚至可由向量空間、旋轉群等出發，再逐步引入角度的概念。〔註6〕西方古典幾何學的代表作是歐幾里得的《幾何原本》，根據 Thomas L. Heath 的翻譯，定義八描述了平面角度的意義：

A plane angle is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.〔註7〕

　　這個定義在利瑪竇與徐光啟的《幾何原本》中譯為：「平角者，兩直線于平面縱橫相遇交接處。」〔註8〕並沒有點出「inclination」的意味。Heath 認為 inclination 是歐幾里得的創意，因為在他之前一般人是把角看作折曲或折斷的線。Heath 還綜述了西方古代對角度的種種不同看法，甚至角度應屬「質」、「量」還是「關係」哪一種範疇，也引起不少的議論。最後他引用十九世紀末 Schotten 的說法，把角度的定義方式劃分為三類：

　　（一）角是兩條直線方向間的差別。
　　（二）角是從一邊旋轉到達另一邊的量。
　　（三）角是兩條直線相夾的那部分平面。

　　既然西方幾何學中對角的認識也有幾套體系，我們似乎應該更致力釐清中國對角度理解的遞嬗與特色，而不必執著在古代是否有現代角度觀念的問題上。