中國古代對角度的認識 (第 6 頁)

　　從前面的討論，可以看出中國古代對於角度的認識，有三條依循的脈絡。一條是後來未曾充分發展的技藝路線，另兩條是各領勝場的天文與幾何的研究傳統。天文著重在圓弧的線性度量，而幾何著重在邊與邊的交會空間。這兩套等價的系統，如果不曾通過圓心角與圓弧的對應關係統一起來，在角度的認識上是有缺陷的。清聖祖敕編的《數理精蘊》所說：「凡圜界，皆以所對之角而命其弧，而角又以所對之弧而命其度。蓋角度俱在圜界，而圜界為角度之規也。」〔註39〕這種「角」與「度」藉由圓而貫通的統一認識，已經是中國人學習過歐幾里得《幾何原本》後的水平。

　　從史實上看，中國幾何的「角」與天文的「度」，沒有自發的統合到一個整體的認識中。但是要問為什麼會如此，恐怕就成為一個無法回答的問題了。退而求其次，我們也許可以找出某些人類認知的模式，說明這種分裂的狀態並非全屬意外。

　　我們用來作為參考的模式，取自視覺功能的「格式塔」(Gestalt) 現象。當人觀察某些特殊的圖像時，會因為腦中組織視覺信息的方式不同，而把圖像解釋成不同的物件。最突出的地方是當圖像被看作是一種物件時，便無法同時被看作另一種物件。多數人稍加指點，便可由一種視訊翻轉 (switch) 成另一種視訊，但有些人就套牢在自己一開始的解釋中，非常不容易翻轉到其它的視訊。

　　現在舉幾個「格式塔」著名的例子。圖二的立方塊是 Louis Albert Necker 在1832年公布的，其中字母A可看作在方塊的前面，也可以看作在方塊的底面。圖三是 Joseph Jastrow 在1900年舉的例證，可看成一隻嘴向左的鴨子，也可看成一隻嘴向右的兔子，但是就是無法同時看出鴨子與兔子。圖四是漫畫家 W. E. Hill 在1915年發表的，標題就叫作「我的妻子與我的岳母」。圖五則是1915年 Edgar Rubin 發現的一種曖昧圖像，可看成是白色的花瓶，或兩張黑色相對的面孔側影。〔註40〕

　　這些例子提供的意義是，一幅圖像本身雖然只是一些幾何線條所構成，但是當心智的解釋作用加進去之後，就會解釋成可互相翻轉切換的不同樣式。而且人常常還會囹圄在一種看法中，無法輕鬆的轉入另一種看法。

　　對於角度的認識，我們可用圖六作模擬說明。其中 AOB 是圓心角，AB 是圓弧。中國古代天文學所看到的角基本上是 AB 這段圓弧的「度」，幾何學所看到的角基本上是 AO、BO 這一對共頂點的邊，而西方很長久以來著重在從 BO 掃到 AO 所撐開的空間。這三種看法在邏輯上都可以等價的描述角度，但它們也像「格式塔」圖像中的三個面貌，在同一個存身空間裡，各自占據一個認知的焦點。我們利用「格式塔」解說中國古代「角」與「度」未能貫通的現象，並不是說西方人是因為看到圖六的這種圖形，便通過夾邊間的二維空間把角的認識統一起來。我們只是用「格式塔」模式的比擬，說明中國古代天文研究傳統的認知與幾何研究傳統的認知，好似各圄於「格式塔」的一方，而未能自發的提升到整體統一但面相可互換的認識層面。由此看來，中國古代角度觀念不發達的因素，並不在於分度法的良寙，卻在於代表幾何的「角」與代表天文的「度」，未能徹底貫通成量天測地一律適用的「角度」。

〔附記〕席澤宗、陳良佐、劉君燦、黃一農諸先生對本文初稿提供寶貴的改善意見，謹此致謝。本文原刊載於李迪主編《數學史研究文集》，第二輯，內蒙古大學出版社與九章出版社聯合出版，1991，呼和浩特，第6-14頁。

參考文獻

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: [16]　見[13]所引書第14頁。
: [17]　見[13]所引書第255頁。
: [18]　見[9]所引書第1383頁。
: [19]　見[13]所引書第14頁。
: [20]　見[13]所引書第13頁。
: [21]　見[13]所引書第18頁。
: [22]　以上六例見[13]所引書第153頁、第167頁、第175頁、第246頁、第248頁、第252頁。
: [23]　見[13]引書第241頁。
: [24]　見[13]所引書第150頁。
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: [26]　見[13]所引書第28頁。
: [27]　見[13]所引書第106頁。白尚恕（《九章算術注釋》，科學出版社，1988，北京，第50頁）認為「角徑亦皆一尺」應該是「角徑二尺」。
: [28]　圖一採自《夢溪筆談譯注．自然科學部分》，安徽科技出版社，1979，第115頁。
: [29]　朱世傑撰，羅士琳補草，《四元玉鑑細草》，台灣商務印書館，台北，1968，第121頁。
: [30]　見[29]所引書第203頁。
: [31]　見[29]所引書第438頁。
: [32]　見[29]所引書第121頁。
: [33]　程大位，《算法統宗》，易學出版社，台北，1986，翻印光緒九年掃葉山房木雕版。
: [34]　參見錢寶琮，「秦九韶《數書九章》研究」，收於《宋元數學史論文集》，科學出版社，1985，第81-84頁。
: [35]　以下例句均引自高平子，「史記天官書今註」，收於《高平子天文曆學論著選》，中央研究院數學研究所，台北，1987，第274-341頁。
: [36]　黃一農，「中國古代窺管考」，《科學史通訊》，第8期，1989，第28-37頁。
: [37]　有關「喜、怒、芒、角」術語的用法，參見黃一農手稿，「中國古代天文中星體亮度術語初探」。
: [38]　見[9]所引書，第1382頁。
: [39]　清聖祖敕編，《數理精蘊》，台灣商務印書館，台北，1957，第19頁。
: [40]　圖二、圖三、圖四均採自Fred Atteneave, Multistability in perception, Scientific American, December, 1971, p.62-p.71. 圖五採自Donald D. Hoffman, The interpretation of visual illusions, Scientific American, December, 1983, p.137-p.144.


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