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.原載於科學月刊第二十七卷第六期
.作者當時任教於台大數學系
 

圓與π

蔡聰明

 
 

圓的周長與面積公式,從小學、中學的數學到大學的微積分,一直都沒有處理好,要不就是語焉不詳,就是繞圈子。本文我們尋求一種不繞圈子的嚴格講法。

大家在小學的時候都學過兩個著名的公式:

圓的周長 $L = 2 \pi r$

圓的面積 $A = \pi r^2$

其中 r 為圓的半徑,π 為圓周率或單位圓的面積,並且 $\pi\doteq3.1416$(參考圖一)。



圖一

這兩個公式是怎麼來的呢?由於要說清楚並不容易,所以老師與課本就採用先背下來「不知亦能行」的策略,一切訴諸直觀,把道理推給將來再去解說。但是,我們查遍國中與高中的數學課本,都找不到蹤跡,甚至大一的微積分課本也不談,即使談了也語焉不詳或繞圈子(vicious circle)。 這個「怎麼來」的問題,涉及極限概念與實數系的完備性,果然有點兒深奧,值得我們仔細探索一遍。


圓的周長

按照知識發展的常理,我們對於事物的認識是,先從直觀經驗開始,再歸納或猜出規律,最後提出證明而完成。

 
對外搜尋關鍵字:
Archimedes
實數系的完備性
區間套原理
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直觀的經驗與猜測

由生活實踐,對於圓人類很早就認識到「周三徑一」的事實。透過實驗的辦法, 度量各種大小不同的圓之周長與直徑,發現圓周與直徑的比值似乎是一個定數, 跟圓的大小無關,令這個比值為 $\pi_1$,從而猜知:

\begin{displaymath}
\mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 198}...
...wM1}\fontseries{m}\selectfont \char 209}} L = 2\pi_1r \eqno(1)
\end{displaymath}

對於小學生來說,這裡有一個很好的數學實驗:度量各種大小與質料皆不同的圓之周長 L 與直徑 D,施以四則運算,列成表格:


\begin{displaymath}
\begin{tabular}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v...
...ots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline
\end{tabular}\end{displaymath}

這個實驗有許多好處:練習實地度量,認識度量會伴隨誤差,磨練計算與系統地列表,主動地找尋規律。

   
 
嚴格的論證

考慮圓內接(或外切)正 n 邊形,當 n 越大時,越接近於圓。 因此,圓周長應該就是圓內接(或外切)正 n 邊形的周界長在 $n\rightarrow\infty$ 時的極限值。 換言之,圓可以看成是無窮多邊的正多邊形,每一邊都是無窮小 (infinitesimal)。 對於一般的曲線,我們也採用同樣的方法來定義它的長度。如圖二,給一條曲線, 我們在其上取有限多個點,連成折線,計算折線的長度。令所取的點之個數趨近於無窮大並且每一小段都趨近於 0, 如果折線的長度存在有極限值,那麼這個極限就定義為曲線的長度。當極限值不存在時,曲線的長度就沒有定義。



圖二

因此,曲線長,特別地,圓周長的存在性並不是天經地義的,而是需要證明的。下面我們就來做這件工作。

UnLn 分別表示圓的外切與內接正 n 邊形的周界長,那麼顯然有

\begin{displaymath}
L_3 < L_4<\cdots<L_n<\cdots<U_n<\cdots U_4<U_3
\end{displaymath}

我們的目標是要證明: $\lim_{n\rightarrow\infty}(U_n-L_n)=0$

為此,我們採用阿基米得(Archimedes)的辦法,由圓內接正六邊形出發(因為最容易作圖),然後逐次加倍邊數。我們仍然有

\begin{displaymath}
L_6 < L_{6\times2} < \cdots < L_{6\times2^n} < \cdots
< U_{6\times2^n} < \cdots < U_{6\times2} < U_6
\end{displaymath}

補題1:
(i) $U_{2n}=\frac{2L_nU_n}{L_n+U_n}$, $L_{2n}=\sqrt{L_nU_{2n}}$
(ii) $U_{2n}-L_{2n}<\frac{1}{2}(U_n-L_n)$



圖三

證明:
(i) 在圖三中,ABCD 分別表示圓內接與圓外切正 n 邊形的一邊,則

\begin{displaymath}
U_n = 2nr \tan{\frac{180^\circ}{n}} \; , \;
L_n=2nr\sin{\frac{180^\circ}{n}}
\end{displaymath}

利用正切函數的定義及倍角公式,很容易證得

\begin{displaymath}
\frac{2L_nU_n}{L_n+U_n} = U_{2n} \quad \mbox{{\fontfamily{cwM2}\fontseries{m}\selectfont \char 68}} \quad
L_nU_{2n}=L_{2n}^2
\end{displaymath}

(ii) 由 Ln<U2n 與算數平均大於等於調和平均可得

\begin{eqnarray*}
U_{2n}-L_{2n} &=& \frac{2L_nU_n}{L_n+U_n}-\sqrt{L_nU_{2n}} \\ ...
...} \\
&=& \frac{L_n+U_n}{2}-L_n \\
&=& \frac{1}{2}(U_n - L_n)
\end{eqnarray*}


反覆利用補題1的(ii)可得

\begin{displaymath}
0<U_{6\times2^n}-L_{6\times2^n}<\frac{1}{2^n}(U_6-L_{6})
\end{displaymath}

從而

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}(U_n-L_n)=0
\end{displaymath}

由實數系的完備性(區間套原理,the nested intervals principle)可知下面兩極限存在且相等

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}U_n=\lim_{n\rightarrow\infty}L_n
\end{displaymath}

這個共同的極限值,我們就定義它為圓周長。

定理1: 設兩個圓的直徑分別為 d1d2,圓周長分別為 C1C2,則

\begin{displaymath}
\frac{C_1}{d_1} = \frac{C_2}{d_2}
\end{displaymath}

證明: 設 LnSn 分別為兩個圓內接正 n 邊形的周界長, 由相似三角形定理知 $\frac{L_n}{d_1}=\frac{S_n}{d_2}$ 因為

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty} L_n = C_1 \; , \;
\lim_{n\rightarrow\infty} S_n = C_2
\end{displaymath}

所以

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{L_n}{d_1} =
\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{S_n}{d_2}
\end{displaymath}

亦即

\begin{displaymath}
\frac{C_1}{d_1} = \frac{C_2}{d_2}
\end{displaymath}

因此,圓周長與直徑的比值為一個普遍的常數,跟圓的大小無關,記此常數為 $\pi_1$。 今若一個圓的周長為 C,直徑為 d,半徑為 r,則 $C= \pi_1$$d=2\pi_1 r$ 這就是圓的周長公式。

   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:2/17/2002