圓與π (第 4 頁)

　1│2│3│4│5　

圓與π （第 4 頁）

蔡聰明

首頁 | 搜尋

．原載於科學月刊第二十七卷第六期
．作者當時任教於台大數學系
‧對外搜尋關鍵字

微積分的發明

微積分的發展從古希臘時代就已經開始，到了十七世紀牛頓 (Newton) 與萊布尼慈(Leibniz) 才真正發明微積分，其間約經二千年的醞釀。牛頓與萊布尼慈最主要的突破是看出微分與積分的互逆性：

$\begin{displaymath} D\int_a^xf(t)dt=f(x) \eqno{(3)} \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \int_a^x DF(t)dt = F(x) - F(a) \eqno{(4)} \end{displaymath}$

這件事情其實在牛頓與萊布尼慈之前已經出現過許多線索，好像是浮在海面上冰山的一角，例如：

圓的面積與周長

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} A(r) = \pi r^2 & \downarrow & \mbox{{\fon... ...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 125}} \end{array}\end{displaymath}$

其中 $A(r) = \int_0^rL(t)dt$ 恰好就是圖九的圖解，而 $L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$ 。

球的體積與表面積

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} V(r)=\frac{4}{3}\pi r^3&\downarrow&\mbox{... ...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 125}} \end{array}\end{displaymath}$

Galileo 的自由落體定律

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} S(t)=\frac{1}{2}gt^2&\downarrow&\mbox{{\... ...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 125}} \end{array}\end{displaymath}$

但是，在牛頓與萊布尼慈之前，沒有人讀出這些結果的深意，到了牛頓與萊布尼慈的手上，他們才首次由「冰山的一角」發現整座的冰山，亦即這些結果對一般的函數也都成立，並且發展出一套有效的演算法則。他們見微知著，因而創造出微積分。

事實上，我們也可採取「以退為進」的論證法。考慮一維球的特例，這就是閉區間 [-r,r]，於是有圖十二：

圖十二

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}... ...ntfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 125}} \end{array}\end{displaymath}$

其中

$\begin{displaymath}\int_0^rdt=t\vert _0^r=r-0=r \eqno{(5)}\end{displaymath}$

叫做完美的積分公式(the perfect integral formula)。

其次，將(5)式中的恆等函數 F(t)=t 推廣成一般的函數 F(t) 也成立：

$\begin{displaymath} \int_a^b dF(t) = F(t) \big\vert _a^b = F(b)-F(a) \eqno{(6)} \end{displaymath}$

特別地，若 f(t)dt=dF(t)，則

$\begin{displaymath} \int_a^b f(t)dt = \int_a^b dF(t) = F(b)-F(a) \eqno{(7)} \end{displaymath}$

就是著名的 Newton-Leibniz 公式。

　1│2│3│4│5　


	（若有指正、疑問……，可以在此留言或寫信給我們。）

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有

編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒 ∕ 繪圖：張琇惠

最後修改日期：2/17/2002