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圓與π (第 2 頁)

蔡聰明

 

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.原載於科學月刊第二十七卷第六期
.作者當時任教於台大數學系
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圓的面積

有了圓周長的公式,我們就可以採用弧度制來度量角的大小並且定義三角函數,進一步有

補題2: $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=1$

證明:由 L'Hospital 規則

\begin{displaymath}\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\cos x}{1}=1\end{displaymath}

這裡所用到的微分公式 $D \sin x=\cos x$,一般的微積分教科書都利用補題2來推導, 這就是繞圈子。為了避開繞圈子,我們改採如下的論證法: 如圖四,考慮單位圓上兩點 AA',並且

\begin{displaymath}
A = (\cos x,\sin x) , \quad A'=(\cos{(x+h)},\sin{(x+h)})
\end{displaymath}



圖四

A 點作水平線交 A'M'B 點,於是

\begin{eqnarray*}
A'B &=& \sin(x+h) - \sin x \\
\frac{\sin(x+h) -\sin x}{h} &=& \frac{A'B}{AA'} \cdot \frac{AA'}{h}
\end{eqnarray*}


所以

\begin{displaymath}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =
\lim_{h\ri...
... 0}\frac{AB'}{AA'}
\cdot \lim_{h\rightarrow 0} \frac{AA'}{h}
\end{displaymath}

顯然 $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{AA'}{h}=1$,但是 $\lim_{h\rightarrow 0} \frac{AB'}{AA'} =$

A' 趨近於 A 時,割線 A'A 趨近於過 A 點的切線,而圓的切線與半徑垂直,參見圖五。



圖五

切線 AT 與水平線 AB(或 x 軸)的交角為 $x+\frac{\pi_1}{2}$,因此

\begin{displaymath}
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{AB'}{AA'} = \sin{(x+\frac{\pi_1}{2})}
= \cos x
\end{displaymath}

從而

\begin{displaymath}
d \sin x = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{\sin{(x+h)}-\sin x}{h} = \cos x
\end{displaymath}

注意:通常的微積分教科書採用不等式

\begin{displaymath}\cos x<\frac{\sin x}{x}<\frac{1}{\cos x}\end{displaymath}

與夾擊原理來證明補題2,但是此地我們不能這樣做,因為不等式之推導,要用到還未出現的圓面積公式。

今考慮半徑為 r 的圓,令 AnBn 分別表示圓內接與圓外切正 n 邊形的面積,再令 an = A6 x 2n, bn=B6 x 2n 則顯然有

\begin{displaymath}a_0<a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots<b_n<\cdots<b_2<b_1<b_0\end{displaymath}

並且

\begin{eqnarray*}
a_n &=& 6\times2^nr^2 \sin{\frac{\pi_1}{6\times2^n}}
\cos{\fr...
...mes2^n}} \\
b_n &=& 6\times2^nr^2\tan{\frac{\pi_1}{6\times2^n}}
\end{eqnarray*}


利用補題2,很容易就得到

補題3: $\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0$

由實數系的完備性知,下限兩個極限存在且相等

\begin{displaymath}\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n\end{displaymath}

這個共同的極限值就定義為圓的面積。

注意:由補題2,我們可以直接求得 $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\pi_1$, $r^2=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$ 而得到圓的面積公式。 但是,我們不走此路線,寧可走傳統歷史的道路。

我們都知道,兩個相似三角形的面積之比等於對應邊平方之比。 同理,因為任何兩個圓皆相似,故兩個圓面積之比就等於相應的半徑平方之比。

定理2: 設兩個圓的半徑為 r1r2,面積分別為 A1A2, 則有 $\frac{A_1}{r_1^2}=\frac{A_2}{r_2^2}$

證明: 令 An(1)An(2) 分別表示兩個圓的內接正邊形的面積,則

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}A_n^{(1)}=A_1 \quad \mbox{{\fontfam...
...ctfont \char 47}} \quad
\lim_{n\rightarrow\infty}A_n^{(2)}=A_2
\end{displaymath}

由相似三角形的面積比之定理知

\begin{displaymath}
\frac{A_n^{(1)}}{r_1^2}=\frac{A_n^{(2)}}{r_2^2}
\end{displaymath}

於是

\begin{displaymath}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n^{(1)}}{r_1^2}
= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{A_n^{(2)}}{r_2^2}
\end{displaymath}

從而

\begin{displaymath}
\frac{A_1}{r_1^2}=\frac{A_2}{r_2^2}
\end{displaymath}

注意: 在數學史上,由於阿基米得沒有極限工具可用,所以他採用窮盡法 (method of exhaustion) 與兩次的歸謬法 (double reductio ad absurdum) 來證明定理2。

根據定理2,圓的面積與半徑平方的比值為一個普遍的常數,跟圓的大小無關,記此常數為 $\pi_2$。 因此,若一個圓的半徑為 r,則其面積為 $A=\pi_2r^2$ 這個就是圓的面積公式。

我們注意到,通常微積分教科書上,利用積分 $4\int_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$ 來求算圓的面積,這犯了繞圈子的毛病。

   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:2/17/2002