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.原載於科學月刊第二十六卷第八期、第九期
.作者當時任教於台大數學系
 

點有多大

蔡聰明

 
 

這是一個平凡的問題,但是極具深度且源遠流長,它從古希臘開始就涉及了「有窮」與「無窮」的論爭。本文我們嘗試由「點有多大?」的觀點切入,循著「無窮」的腳步,走一趟數學之旅,作一個簡要的歷史回顧。

空間或幾何圖形,都是由「點」所組成的。因此,欲透過點的性質來掌握圖形的性質,乃是順理成章的一件事。

我們很自然要問:點有沒有長度?

在約兩千五百年的漫長歲月中,數學家提出了各種答案,從畢氏學派的「點有一定的大小,長度不為 0」,到歐幾里得的「點只占有位置, 而沒有長度」,再到牛頓與萊布尼慈的「無窮小」解釋,這些答案跟歐氏幾何、解析幾何、微積分、集合論以及測度論的發展,具有密切的關聯。


離散的或連續的?

大自然的結構與組成要素,其生成、變化與運動之道,自古以來就是哲學家與科學家熱烈討論的主題。由此產生了下面三個萬古常新的問題:

(i)物質的結構問題 (the structure of matter);
(ii)物體的變化與運動問題 (the problem of change and motion);
(iii)科學知識的結構與成長問題 (the problem of structure and growth of scientific knowledge)。

對於物質的結構問題,讓我們作個想像的實驗 (thought experiment):如果將一塊泥土不斷地分割下去,最後會得到什麼呢?

這可以分成以下的離散 (discrete) 與連續 (continuous) 兩派來解釋。

 
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無窮
畢氏
歐幾里得
離散
連續
無窮小
詭論
季諾詭論
可共度
不可共度
Hilbert數學問題
axiomatic method
笛卡兒
費瑪
解析幾何
窮盡法
不可分割法
無窮小法
動態窮盡法
牛頓
萊布尼慈
微積分學根本定理
算術根本定理
代數學根本定理
Cauchy
實數系
Dedekind
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實數系完備性
Dedekind Cut
區間套
中間值定理
Robinson
非標準分析學
集合論
實在的無窮
潛在的無窮
伽利略
高斯
基數
countable set
uncountable set
代數數
超越數
Aleph zero
連續統假說
Cohen
Hilbert
Russell
富立葉分析
Fourier
黎曼積分
Riemann
Lebesgue
 
離散派:

這一派又叫做原子論派 (atomism),主張:分割物質,在很大的「有窮步驟」之內就會抵達「不可分割」的境地,叫做「原子」(atom);萬物都是原子組成的。原子不生不滅,其不同的排列組合,導致了大自然的生成與變化之道。

離散派或有窮派最主要的代表人物,是畢達哥拉斯(Pythagoras,約西元前585∼500)、留基波斯(Leucippus,約西元前460∼390)與德謨克列特斯(Democritus,約西元前460∼370)等人。

   
 
連續派:

這一派主張:物質是連續的,可以作「無窮步驟」的分割,沒完沒了。但是,分割到最後會剩下什麼,卻陷入困局。如果回答說是「空無」(nothing),那麼物質是由空無組成的,這種「無中生有」(something out of nothing) 是不可思議之事。如果回答說是「無窮小」(infinitesimal),那麼什麼是無窮小?這更令人困惑。

我們舉幾個連續派的例子。在春秋戰國末期,公孫龍(約西元前325∼250)說:

一尺之棰,日取其半,萬世不竭。

古希臘哲學家安那薩哥拉斯(Anaxagoras,西元前500∼428)說:

在小當中沒有最小,因為小中恆有更小。 (In the small there is no smallest, there is always a smaller.)

這跟老子所說的「至大無外,至小無內」有異曲同工之妙。再如,英國諷刺小說家斯威夫特(Swift,1667∼1745,即《Gulliver 遊記》的作者)也說:

在一隻跳蚤身上有一隻更小的跳蚤在吸吮,在更小的跳蚤身上又有一隻更小更小的跳蚤在吸吮;如此繼續下去,永世不竭。

上述例子,都是連續派或無窮派的最佳寫照。

   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠;簡立欣 最後修改日期:2/17/2002