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點有多大 (第 2 頁)

蔡聰明

 


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.原載於科學月刊第二十六卷第八期、第九期
.作者當時任教於台大數學系
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點與線段的三個基本問題

「點」(point)是幾何圖形的最基本要素,相當於幾何學的「原子」。 當我們剖析幾何圖形的組成時,得到體、面、線,最後是點。反過來說,動點成線, 動線成面,動面成體。前者是「分析」(Analysis),後者是「綜合」(Synthesis)。

既然線段是由點組成的,於是自然產生下面三個基本問題:

問題1:點有多大?
問題2:如何由點的長度,累積成線段的長度?
問題3:線段含有多少點?

這三個問題都很有深度,追究起來又會遇到兩個相關的問題:

線段是離散的或連續的?

線段是有窮可分的 (finitely divisible) 或無窮可分的 (infinitely divisible)?

從而,又分成離散派與連續派。離散派主張:點雖然很小很小,但有一定的長度,像小珠子一樣,線段是由這些小珠點連起來的。連續派則主張:點的長度為 0,線段是連續的、無窮可分的。這就涉及深奧的無窮與連續統之謎 (the enigma of infinity and continuum),經常伴隨著詭論之出現,例如著名的季諾詭論 (Zeno's paradoxes)。

長久以來,這兩派思想的論爭,對於促進數學、物理學、哲學的進展,一直扮演著主導的角色。連續派富於想像,離散派注重實際。數學史家倍爾 (E.T. Bell, 1883∼1960) 說得好:

整個數學史,可以看作是離散與連續這兩個概念的論爭史。這個論爭可能只是早期希臘哲學上著名的「一與多」(亦即「變」與「不變」)論爭的餘波蕩漾。然而,把它們看作是「你存我亡或我存你亡」式的論爭並不恰當,至少在數學裡,離散與連續經常是相輔相成地促成了進步。

   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠;簡立欣 最後修改日期:2/17/2002