古埃及與巴比倫累積了數千年的直觀經驗幾何知識，傳到了古希臘人的手上，
泰利斯（Thales，約西元前625∼546）首先嘗試將它們組織成邏輯系統。
接著是畢氏學派 (Pythagorean school)，他們為了建立幾何學的基礎，
採用「離散的世界觀」，認為線段是由離散的 (discrete)、且具有一定大小的點，串連起來的。據此，他們解答了上述三個問題：
線段只能作有窮步驟的分割，就到達了「點」。點雖然很小很小，但是其長度 d>0，線段的長度等於其組成點的長度之相加，這只是有窮項之求和（微觀與宏觀的連繫）。線段只含有窮多點。
進一步，他們提出：任何兩線段皆可共度 (commensurable)，亦即對於任意兩線段 a 與 b，恆存在一個共度單位 u>0，使得  ， ，其中 m、n 皆為自然數。在畢氏學派「離散的世界觀」之下，這是一個自然的結論，因為至少一個點的長度就是一個共度單位。
從而，線段的度量只會出現「整數或整數比」（即有理數）。另外，畢氏也發現了畢氏音律，悅耳調和的音，其弦長成簡單整數比。畢氏學派的世界是「整數與整數比」的世界，這是他們主張「萬有皆整數與調和」(All is whole numbers and harmony)之所本。
在任何兩線段皆可共度的條件下，畢氏學派證明了長方形的面積公式與相似三角形基本定理，進一步推導出畢氏定理，他們相當成功地將幾何學建立在「整數與整數比」的算術基礎上面，我們不妨稱之為：幾何學的算術化與原子論化的研究綱領 (research program)。
後來由於發現了正方形的邊與對角線，以及正五邊形的邊與對角線，都是不可共度的 (incommensurable)。這等價於  與
 不能表為整數比，即它們都是無理數（或非比數），我們可以利用歸謬法加以證明。這導致了畢氏學派的失敗，史稱第一次的數學危機。
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