上頁 12345678910 次頁

點有多大 (第 6 頁)

蔡聰明

 


首頁 | 搜尋

.原載於科學月刊第二十六卷第八期、第九期
.作者當時任教於台大數學系
對外搜尋關鍵字
 
微積分的誕生

根據歐式幾何的定義:點只佔有位置,沒有大小;線段只有長度,沒有寬度;面只有長度與寬度,但沒有厚度。因此,歐氏的點、線、面都不生存在這個現實世界,而生存在柏拉圖的「理念與形的世界」(the Plato's world of ideas and forms)。任何在紙面上做出的幾何圖形都不正確,所以有人說:「幾何學就是利用不正確的圖形,做正確推理的藝術。」

線段由無窮多個點組成,而點的長度為 0,無窮多個 0 加起來會等於線段的長嗎?這個難題使得局部的點與大域的線段之間,存有不可踰越的鴻溝 (gap) 而無法銜接,這就是「無窮」所產生的鴻溝。

同理,求面積與體積的問題也遇到了類似的困難。長久以來,數學家想出各種替代方案,例如窮盡法、不可分割法、無窮小法、動態窮盡法等等,但這些都只是個案解決問題,並不是普遍的系統方法。

到了牛頓(Newton, 1642∼1727)與萊布尼慈(Leibniz, 1646∼1716)的手上,雖然點沒有長度,但是他們在直線坐標系上引入「無窮小」dx,作為「點的長度」之解釋與積分的對象。由此逐步發展出微分法,解決求面積的千古難題,創立了微積分。

下面我們就來重建這個偉大的發現過程。如圖一所示,考慮線段 [a,b],將它分割成 n 段(不必等分),分割點為

\begin{displaymath}a = x_1 < x_2 < \cdots < x_k < x_{k+1} < \cdots < x_{n+1} = b \eqno(1)\end{displaymath}



圖一

令第 k 段的長度為 $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$,再將 n 段全部加起來,就得到

\begin{displaymath}
\sum_{k=1}^n\Delta x_k=x_k \big\vert _1^{n+1}=x_{n+1}-x_1=b-a \eqno(2)
\end{displaymath}

現在讓分割越來越細,n 越來越大,不過(2)式仍然成立。由於線段是連續的,可以作無窮步驟的分割;今想像已經分割到使每一小段都變成「無窮小」,在 x 點處的無窮小記為 dx,於是(2)式連續化變成積分公式:

\begin{displaymath}
\int_a^bdx = x \big\vert _a^b = b-a \eqno(3)
\end{displaymath}

積分記號 $\int_a^bdx$ 表示無窮多個無窮小,從 ab 連續地求和。

亞里斯多德說:「線段不是由點組成的」,其實他的意思是說:「線段的長度,不是由點的長度累積而成的。」(3)式告訴我們,線段的長度是由局部的無窮小 dx 累積(即積分)而得到的,這初步解決了問題 2。我們稱(3)式為完美的積分規則 (the perfect integral rule)。

其次,如圖二所示,考慮一個函數 y=F(x),定義在 [a,b] 上。對於(1)式之分割,相應地將函數圖形台階化,第 k 階的升(降)高度為

\begin{displaymath}\Delta F(x_k)=F(x_{k+1})-F(x_k) \eqno(4)\end{displaymath}



圖二

於是將 n 階的升降高度全部加起來,就是從 P 點沿著台階登到 Q 點的純升高 F(b)-F(a),亦即

\begin{displaymath}\sum_{k=1}^n\Delta F(x)=F(b)-F(a) \eqno(5)\end{displaymath}

作連續化得到

\begin{displaymath}\int_a^bdF(x)=F(b)-F(a)\eqno(6)\end{displaymath}

其中積分 $\int_a^bdF(x)$ 表示無窮小的小精靈沿著 y=F(x) 的圖形,每一階升降的高度為

\begin{displaymath}dF(x)=F(x+dx)-F(x)\eqno(7)\end{displaymath}

然後對 xab 連續地求和。

另一方面,考慮一個連續函數 y=f(x),其圖形在 [a,b] 上所圍成領域之面積。這可以看成是無窮多個無窮小的長方形 f(x)dx,對於 xab 連續地求和,即積分 $\int_a^bf(x)dx$,參見圖三。



圖三

問題4:如何求算積分 $\int_a^bf(x)dx$

由(6)式即知,如果 f(x)dx 可以表成 dF(x) 之形,或

\begin{displaymath}\frac{dF(x)}{dx}=f(x),\forall x\in[a,b] \eqno(8)\end{displaymath}

那麼答案就是 F(b)-F(a)

定理一(微積分學根本定理):
f 為定義在 [a,b] 上的一個連續函數。如果可以找到另一個函數 F,使得(8)式成立,則

\begin{displaymath}
\int_a^bf(x)dx = F(x) \big\vert _a^b = F(b)-F(a) \eqno(9)
\end{displaymath}

此式叫做 Newton-Leibniz 公式。

問: 什麼是算術根本定理、代數學根本定理?

牛頓與萊布尼慈獨立地看出這個定理,所以後世史家就把微積分的發明歸功於他們兩個人。

什麼是無窮小 dx?顯然它不能等於 0,否則又會落入「無中生有」的陷阱。但是它也不能為一個有限正數,因為這會產生由無窮多個正數累積成無窮長的線段,跟常識矛盾。無窮小是經過無窮步驟的分割而得到的,故它「要多小就有多小」,是活生生的。不過,這又跟「不等於 0」矛盾,因為一個實數若其絕對值可以「要多小就有多小」,那麼它必等於 0。因此,無窮小具有「不等於 0,並且要多小就有多小」之矛盾性格,這逼得無窮小不是一個實數,無窮小概念之詭譎可見一斑。

點的長度為 0,無窮小 dx 不等於 0。無窮小才是積分的對象,而不是點!利用無窮小可以幫忙我們看出微積分!

F(x) 求出 $\frac{dF(x)}{dx}$ 叫做微分;給 f(x),求 F(x) 使得(8)式成立,叫做反微分。定理一告訴我們,問題4之積分解決於反微分的求算;反微分的演算又建基於微分的演算。因此,我們說微分法解決了求積分之難題。此外, $\frac{dF(x)}{dx}$ 可以解釋為切線斜率、速度、密度、放大率、變化率等等。

例子: 設 $F(x)=\frac{1}{3}x^3$,則

\begin{eqnarray*}
\frac{dF(x)}{dx} & = & \frac{F(x+dx)-F(x)}{dx} \\
& = & \fra...
...}\fontseries{m}\selectfont \char 196}} dx \neq 0) \\
& = & x^2
\end{eqnarray*}


(因 dx 要多小就有多小,故可略掉)

我們也可以採用極限論證法:

\begin{eqnarray*}
\frac{dF(x)}{dx}&=&\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{F(x+\Delta...
...ghtarrow0}[x^2+x\cdot\Delta x+\frac{1}{3}(\Delta x)^2]\\
&=&x^2
\end{eqnarray*}


兩種算法殊途同歸。於是由定理一可知

\begin{displaymath}
\int_a^bx^2dx = \frac{1}{3}x^3 \big\vert _a^b = \frac{1}{3}(b^3-a^3)
\end{displaymath}

   

上頁 12345678910 次頁

回頁首
 
(若有指正、疑問……,可以在此 留言寫信 給我們。)
EpisteMath

EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
各網頁文章內容之著作權為原著作人所有


編輯:石莉君 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠;簡立欣 最後修改日期:2/17/2002