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薛西弗斯的巨石
談費瑪最後定理
(第 6 頁)

蔡聰明

 

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.原載於科學月刊第二十六卷第一期
.作者當時任教於台大數學系
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1990年之前的進展

費瑪最後定理的嘗試證明,是逐步漸進的。最早費瑪證明n=4的情形,從而對於任何n=4m($m\in N$)的情形也都證明了。其次,對於n=3且不為4的倍數者,必可分解成$n=p\cdot k$,其中p為奇質數。如果

up+vp=wp

無正整數解,則特別地,不存在形如

\begin{displaymath}
u=x^k,\quad v=y^k,\quad w=z^k
\end{displaymath}

之正整數解,從而xn+yn=zn不存在正整數解。



圖二

因此,只需證明 n 為奇質數情形的費瑪最後定理就夠了。

以下我們用FLT表示費瑪最後定理,並且列出它的一些重要進展:

1770年,尤拉證明 n=3 的 FLT。

1816年,法國科學院懸賞證明 FLT。

1820年代,女數學家潔兒蔓(Sophie Germain,1776∼1831)證明:若 n 為奇質數,且2n+1為質數,則xn+yn=zn不存在正整數(x,y,z)使得xyz不可能被n整除。這叫做第一種情形的FLT。第二種FLT是xyz可被n整除的情形,這比較深奧困難。

1825年,狄里克列特(Dirichlet與勒詹德瑞(Legendre)證明 n=5 的 FLT。

1832年,狄里克列特證明n=14的FLT。

1839年,拉梅(Lame)證明n=7的FLT。

1847年,拉梅與柯西(Cauchy)對一般n提出FLT的一個錯誤證明。

1847年,庫麥爾(Kummer)證明:若p為正則質數(regular primes),則FLT成立。所謂p為正則質數是指p不可整除Bernoulli數 $B_2,B_4,\cdots,B_{p-3}$的分子,其中Bernoulli數由下列幕級數所定義:

\begin{displaymath}\frac{x}{e^x-1}=\sum^\infty_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n\end{displaymath}

利用這個結果,庫麥爾證明:對於p<100,FLT成立,只有p=37,59,67三數是不正則質數,是例外。

1850年,法國科學院第二度懸賞證明FLT。

1856年,在柯西的建議下,法國科學院撤消懸賞,但頒給庫麥爾一個獎章。

1857年,庫麥爾發展複雜的判別準則,以證明不正則質數的FLT,從而證明了p<100的FLT。不過,他的證明含有一些漏洞,後來在1920年代才由范迪佛(Vandiver)補足。

   

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編輯:鄧惠文 最後修改日期:4/29/2002