薛西弗斯的巨石 (第 2 頁)

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薛西弗斯的巨石
談費瑪最後定理（第 2 頁）

蔡聰明

．原載於科學月刊第二十六卷第一期
．作者當時任教於台大數學系
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畢氏三元數

方程式x²+y²=z²的任何一組正整數解答 (x,y,z) 就叫做一組畢氏三元數(Pythagorean triple)，例如(3,4,5)、(5,12,13)、(119,120,169)都是畢氏三元數。

畢氏三元數不但存在，而且有無窮多組。更神奇的是，它們可以用公式表達出來。

我們將問題1的答案列於下:

1.畢氏公式:

$\begin{displaymath} x=2n+1,\quad y=2n^2+2n,\quad z=2n^2+2n+1 \end{displaymath}$

(3)

2.柏拉圖公式:

$\begin{displaymath} x=2n,\quad y=n^2-1,\quad z=n^2+1 \end{displaymath}$

(4)

在(3)與(4)兩式中，n皆為自然數。不過，兩式都沒有窮盡所有的解答。

3.歐氏的完全解答公式:

$\begin{displaymath} x=l(m^2-n^2),\quad y=2lmn,\quad z=l(m^2+n^2) \end{displaymath}$

(5)

其中 m,n,l 皆為自然數且 m>n。(5)式窮盡了(2)式的所有正整數解。

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編輯：鄧惠文

最後修改日期：4/29/2002