蔡聰明

問題的起源 一維的特例：植樹問題 推廣到二維平面 Pick 定理的證明 Pick 定理的推廣 其他的求面積公式

Pick 公式、Heron 公式與測量師公式，是數學裡求面積的三個重要公式。本文我們著重在討論其中的Pick公式 ，從問題出發到猜測、發現、檢驗與證明等的發展過程，內容淺白，高中生亦可研讀。

問題的起源

好奇與實用是數學發展的動力，兩者相輔相成，不可偏廢。

古埃及人舖地板時，用同一種大小的正多邊形，結果只能是正三角形、正方形與正六邊形所舖成的三種樣式（見圖一、二及三）。

圖一：用正三角形鋪地板

圖二：用正方形鋪地板

圖三：用正六邊形鋪地板

這媲美於正多面體恰好有五種，都是很令人驚奇的結果。為了追究背後的原因，他們發現了「三角形三內角和為一平角(即)定理」，由此證明出舖地板恰有三種樣式，從而對經驗事實求得解釋(explanation)。

進一步，在正方形樣式的地板上 [即平面正方形格子網或幾何板 (geoboard)]，古埃及人又從中玩索出畢氏定理(見圖四)，以及其他許多幾何定理。在驗證畢氏定理時，涉及了需計算以格子點為頂點的正方形之面積。

另一方面，基於實際應用，如農夫在田地上插秧或種植果樹(假設種在正方形的格子點上)。顯然，田地越廣，所種的棵數就越多，反之亦然。因此，土地的面積與棵數具有密切的關係，但這個關係是什麼呢？

圖四：畢氏定理

不論是起於好奇或實用，都引出了下面一個有趣的數學問題：

問題：平面上以格子點為頂點的多邊形，其面積公式是什麼呢？如何探尋它？（見圖五）

圖五：以格子點為頂點的任一多邊形

本文我們就來探討這個問題。它從發現到證明的過程，都富有思考方法的啟發性，值得追尋。