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談求面積的 Pick 公式 （第 6 頁）

蔡聰明

 

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．原載於科學月刊第二十五卷第十期
．作者當時任教於台大數學系
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其他的求面積公式

平面上的多邊形，有各式各樣的面積公式，端視所給的數據而定。除了本文所介紹的 Pick 公式之外，還有 Heron 公式與測量師公式，構成三足鼎立的求面積三個重要公式。

   
 
Heron 公式及其推廣

對於三角形的情形，如果已知三邊的長為 a,b,c，令 $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$，則其面積為

\begin{displaymath} \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \eqno{(14)} \end{displaymath}

推廣到四邊形，有兩種情形(詳見參考資料11.)

(i)當四邊形的邊長為 a,b,c,d 且內接於一圓時，令 $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$，則其面積為

\begin{displaymath} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\eqno{(15)} \end{displaymath}

這叫做Brahmagupta公式。

(ii)對於任意四邊形，其面積為

\begin{displaymath} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}-abcd\cos^2(\frac{B+D}{2}) \eqno{(16)} \end{displaymath}

其中 B 與 D 為四邊形一對的對角。這叫做 Bretschneider 公式。值得注意的是，要再推廣到五邊形以上，就行不通了。

   
 
測量師公式 (A Surveyor's Formula)

一個 n 邊形 A1, A2,…,An，其頂點按逆時針方向來配置並且坐標為 Ak=(xk,yk)，k=1,2,…,n，則面積為

\begin{displaymath} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^n \left\vert \matrix{ x_k & x_{k+1} \cr y_k & y_{k+1} \cr } \right\vert \eqno{(17)} \end{displaymath}

其中規定 xn+1=x1，且 yn+1=y1。

在上述三類公式中，要以測量師公式最具推廣潛力，因為它可以「連續化」。例如：

平面上逆時針方向的封閉曲線 x=x(t), y=y(t), $t\in[\alpha,\beta]$，所圍成領域的面積為：

\begin{displaymath} \begin{eqalign} \frac{1}{2}\oint \left\vert \matrix{ x & x+d... ...alpha}^{\beta}[x(t)y'(t)-y'(t)x(t)]dt \end{eqalign}\eqno{(18)} \end{displaymath}

若再推廣，就得到著名的 Green 定理，而溶匯入微積分的數學主流。這好像是一條大河，一路上匯集各支流，最後終於流入大海 。

參考資料
1. Varberg, D.E. 〈Pick's Theorem Revisited〉, Amer. Math. Monthly, 92:584-587, 1985.
2. Funkenbusch, W.W. 〈From Euler's formula to Pick's Theorem Using an Edge Theorem〉, Amer. Math. Monthly, 81:647-648, 1974.
3. Haigh, G.A. 〈'Natural' Approach to Pick Theorem〉, Math. Gaz. 64: 173-177, 1980.
4. Scott, P.R. 〈The Fascination of the Elementary〉, Amer. Math. Monthly, P.759-768, 1987.
5. Niven1.& H.S.Zuckerman,〈Lattice points and Polygon Are〉a, Amer, Math. Monthly, p.1195-1200, 1967．
6. Grunbaum, B. and G.C. Shephard, 〈Pick's Theorem〉, Amer. Math, Monthly，P.150-161, 1993.
7. DeTemple D. and J. M. Robertson 〈The equivalence of Euler's and Pick's Theorem〉, Math. Teacher, 67:222-226,1974.
8. Ding R.K. Kolodziejczyk and J. R. Reay. 〈A new Pick-type Theorem on the Hexagonal Lattice〉, Discrete Math. 68:171∼177,1988.
9. Ding R. and J. R. Reay. 〈The boundary characteristic and Pick's Theorem in the Archimedean planar tilings〉. J. Combinat. Theory, A44:110-119,1987.
10.蔡聰明，〈談Heron公式，記一段教學經驗〉，《數學傳播》第十七卷第一期 民國八十二年
11.蔡聰明，〈四邊形的面積〉，《數學傳播》第十七卷第三期 民國八十二年

   

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編輯：李渭天 最後修改日期：2/27/2002