一般而言，數學是先有觀察與猜測（這個階段允許犯錯），然後才有試驗、修正與證明。數學絕不是突然 (out of the blue) 從天上掉下一個公式或定理，然後就要我們去證明。通常數學教科書所犯的毛病就是按「定義、定理、證明，等抽象方式來舖陳，這樣無法看到數學的發展過程。

為了證明(7)式，首先讓我們分析單純多邊形:

(i) 最簡單的單純多邊形就是原子三角形 (atomic or primitive triangles)，亦即除了三個頂點之外，三邊及內部皆不含格子點之三角形，見圖十五，其面積皆為 ，並且可用(7)式來計算： 。因此，對於原子三角形，上述(7)式成立。

圖十五：原子三角形

(ii) 其次，我們觀察到，對於任意的單純多邊形都可以先分割成三角形（即三角形化），再進一步分割成原子三角形之組合(這叫做原子化)，見圖十六。

圖十六：任意多邊形之三角化與原子化

圖十七：單純多邊形的分割

(iii) 最後考慮任何單純多邊形 Γ 將它分割成兩個單純多邊形 與 ，見圖十七。設 Γ 有 b 個邊界點、i 個內點，並且 與 分別有 b₁ 個與 b₂ 個邊界點、有 i₁ 個與 i₂ 個內點。再設 與 有 b₃ 個共同的邊界點，則

所以

因此，公式(7)在分割下，具有加性 (additivity)。

上述三個步驟綜合起來，我們就證明了(7)式，一旦猜測有了證明，就成為定理。

定理一：Pick 定理，1899年

設 Γ 為平面上以格子點為頂點之單純多邊形，則其面積為

其中 b 為邊界上的格子點數，i 為內部的格子點數。(8)式叫做 Pick 公式。

在上述證明中，單純多邊形經過原子化後，成為一個連通的平面圖枝 (a connected plane graph)。著名的尤拉 (Euler) 公式告訴我們，對於任何連通的平面圖枝（不限於格子點圖枝）恆有：

因為每一個原子三角形的面積為 ，並且總共有 F-1 個，所以原來單純多邊形的面積為：

定理二：（稜線定理，Edge Theorem）

對於任意連通的三角形化的平面圖枝，其稜線的個數恆為

其中 b 與 i 分別表示圖枝邊界上的頂點數與內部的頂點數。

證明： 我們分成三個步驟：

(i)最簡單的情形是 b=3，i=0，圖枝只含一個三角形，此時 E=3，故公式(13)成立。

(ii)若在三角形的內部增加一個頂點，則 E 增加 3。此時(13)式也成立。

(iii)假設一個連通的三角形化的平面圖枝滿足(13)式（即 E=2b+3i-3），今在其外部增加一個新的邊界頂點，使得原來圖枝的邊界頂點有 m 個變成內部頂點（m 可能等於 0），則 E 增加 m+2。於是由 E=2b+3i-3 得：

E+m+2=2(b+1-m)+3(i+m)-3

換言之，對於新的圖枝而言，(13)式仍然成立。按數學歸納法，我們就證明了(13)式。

由稜線定理與尤拉公式，我們也可以推導出 Pick 定理，這就是下面要介紹的 Pick 定理之第二種證法：

根據 V=b+i, E=3i+2b-3, V-E+F=2，以及面積 ，立即可算得：

由 Pick 定理知，以格子點為頂點之多邊形，其面積必為有理數，但是正三角形的面積為無理數，所以我們有了

推論： 以格子點為頂點之正三角形不存在。

事實上，我們可以證得一般結果，如下:

定理三： 正方形是唯一以格子點為頂點之正多邊形。