蔡志強

一、問題的起源 二、函數觀念的改變以及 d'Alembert、Euler 與 Bernoulli 家族間的論戰 Fourier 譜寫的「數學的詩篇」 四、Cauchy 分析的嚴密化 五、Riemann 的就職論文 一段小結

如果 Newton 和 Leibniz 想到過連續函數不一定有導數──而這卻是一般情形──那麼微分學就不會被創造出來。

──Henri Poincaré

一、問題的起源

如果我看得更遠些，那是因為我站在巨人們的肩膀上。

──Isaac Newton

自從 Newton 與 Leibniz 發明微積分後，就為人類開啟了一條通往科學數學化 (mathematization of science) 的大道。但是，由於微積分的基礎太薄弱了，因此，引來許多數學界及非數學界的人的非難。在本文中，我們想要回溯一些積分的發展過程，倒不是從偉大的阿基米德開始，而是想著重於 Lebesgue 積分理論的發展，因為它的發展史其實就是數學分析嚴密化的最好例證。從這裡，我們將可以看到許多的數學家如何從一些我們（至少對我而言）經常學習實分析過程中所遭遇的困難出發，然後得到完整的理論。不過，如果要對這段發展有貢獻的數學家列出一張表來，恐怕十張 A4 紙都不夠，同時，這項事實反映出每一種完整的理論都是許多人一點一滴累積起來的，並非一個人就可以完成的。由於積分理論的發展歷程是如此之大與複雜：因此，本文必須有所限定，我們打算就三部份來論述，第一部份主要是從十七世紀至十九世紀函數、連續函數、以及定積分等概念的轉變談起；第二部份是敘述集合論與容積 (content) 觀念的發展；最後一部份則是談論 Borel 測度與 Lebesgue 積分的形成。首先，我們將從十八世紀末的一場關於波動方程的論戰開始。