現在人們可以說，絕對的嚴格已經達到了。

──Henri Poincaré

Fourier 認為任意函數均可表為三角級數的和，使得大家開始思考什麼是函數、連續函數與不連續函數的區別、定積分的意義為何？也就是牽涉到分析基礎的嚴密化，這方面的工作應該首先歸功於 Augustin Louis Cauchy（1789∼1857）。Cauchy早在1814年時，就已經理解到連續函數與將定積分視為某種「求和的極限」觀念的重要性，但是，直到他知道了 Fourier 的工作之後，特別是 Fourier 對於 Fourier 級數中 Fourier 係數 a_n,b_n 的面積解釋之後，他更加肯定這種態度。而 Cauchy 在這方面的工作顯現在他一生中最風光的時候所作三本關於分析基礎嚴密化的大作：《分析教程》(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechinque, 1821)、《無限小計算教程概論》(Résumé des lecons sur le calcul iinfinitésimal, 1823) 以及《微分學教程》(Lecons sur le calcul diffegrential, 1829)。

Cauchy 一生中最得意的時期應該是在波旁王朝復辟時期，在這時期，Cauchy 於1815年，以26歲這樣年輕的年紀就接替L. Poinsot 的位置，而成為培養出許多法國大數學家的巴黎綜合工科學校的教授，並在這裡成就了許多偉大的研究，特別是，受到了 Laplace 的鼓勵，於1821年出版了他在巴黎綜合工科學校授課的數學分析講義，也就是《分析教程》(Cours d'analyse de l'Ecole royale Polytechnique, 1821)。Cauchy 寫作這本書的目的是想要將分析建築在像幾何一樣堅固的基礎之上，而不是像過去的數學家一樣，只是利用一些似是而非的歸納方法而得出的分析真理，正如底下他在這本書的序言所說：

我企圖按照關於代數一般原理的推理中從來沒有過的一種方法，給分 析方法以幾何中所要求的嚴密性……，而歸納法只是偶爾發現真 理，但與數學所自恃的精確性毫無共同之處……。我的主要目標 是使嚴謹性（這是我在《分析教程》中為自已規定的準繩）與基於無窮 小的直接考慮所得到的簡單性和諧一致。

Cauchy 在這本書的第一章裡，就明確地定出極限的觀念，並將無窮小定義為以 0 為極限的變數，從而，確定了無窮小不是數的觀念。

當一個變數所取的值無窮接近一固定值而使兩者之差要多小有多小時，此一最終的值稱為所有其他值的極限。比如說：一無理數是許多不同的分數的極限，它們愈來愈接近它。在幾何中，一個圓周是其邊數不斷增加的內接多邊形所收斂的極限，等等。

當同一變量逐次所取的絕對值無限減小：以致比任意給定的數還要小，這個變量就是所謂的無限小或無限小量，這樣的變量將以 0 為極限。

雖然，Cauchy 對於極限的看法，它的前人（比如說：d'Alembert）也曾提出過，不過，在論證一些極限式子時，Cauchy 確是第一個將上述定義轉化成類似於今日以 論證極限的人，或許，可以說 Cauchy 是將分析邁向算術化的第一人，後來的柏林學派大師 Karl Weierstrass（1815∼1897）是將 Cauchy 的想法以 的方式表現出來。

在屬於無限小範疇的研究對象中，我們必須提出與函數的連續性和不連續性有關的概念。讓我們首先從這一角度來考察一個單變量函數。

設 f(x) 是變量 x 的函數，並設對介於兩給定限之間的每一個 x 值，該函數總有一個唯一的有限值。如果在這兩給定限之間的有一個 x 值，當變量 x 獲得一個無限小增量叫函數本身將增加一個差量

這個差同時依賴於新變量 α 和原變量 x 的值。然後，如果對變量 x 在兩給定限之間的每一個中間值，差 的絕對值都隨 α 的無限減小而無限減小，那麼就說函數 f(x) 是變量 x 在這兩給定限之間的一個連續函數。

另一方面，假如 f(x) 在包含 x₀ 的任一個區間都不是連續的，則稱 f(x) 在 x₀ 不是連續的。

在這裡，Cauchy 突出了連續與不連續函數之間的差別，而且他的定義並沒有像十八世紀時，須要求函數有額外的性質（比如：可微），所以已經幾乎是現代的版本。但是，另外一方面，我們可以看到一個與現代版本有點差異但又有趣的現象：連續是函數在一點的行為表現，而不是在整個區間上的行為，然而，Cauchy 將連續觀念建立在整個區間上，另外一方面，Cauchy 對不連續的定義，就顯出他認為不連續是函數在一點的行為，而這與現代版本是相同的。關於這一點，我們還會往後面討論。

在兩年後，Cauchy 在《無限小計算教程概論》的第二十一講裡，利用「和的概念」定義連續函數定積分。

假設函數y=f(x)關於變量x在兩個有限界限x=x₀和x=X之間連續，我們用x₁, x₂,…,x_n-1來表示x的位於這兩個限之間的一些新值，並假定它們在第 一個限與第二個限之間或者總是遞增，或者總是遞減。我們可以用這些值將差X-x₀劃 分成元素

於是當差X-x₀的元素變為無限小時，劃 分方法對S的值的影響無足輕重;這樣，如果 我們讓這些元素的數值隨著它們個數的無限增加而無限減小，那麼就一切實用的目的而 言，S的值最終將變為常數。或者說，它最終將達到一個確定的極限。而這極限僅依賴 於函數f(x)的形式和變量x的邊界值x₀和X這個極限就叫做定積分。

為了說明定積分是不依賴於"分割點"的選取，Cauchy隱約地利用了"閉區間上的連續函數 是均勻連續"以及"實數完備性"這兩個性質，從而確定了連續函數定積分的存在性。然而 ，Cauchy並沒有驗證這兩個性質是否真的成立，而只是把它們當成必然是成立的，這多 少阻礙了 Cauchy繼續探討不連續函數的定積分存在性。無論如何，Cauchy對於連續函數 定積分的定義已經擺脫了從Newton發明微積分以來的一個觀念:將積分視為微分的逆運算 。比較學究一點的術語，就是微積分基本定理是成立的。我個人的看法是:如果微積分基 本定理沒有很早被發現的話，或許大家會提早考慮定積分的存在性，從而,較早考慮微積 分的基礎，而不用受到許多人的攻擊，但是,如果微積分基本定理沒有一開始就被發現， 那麼或詐十八世紀的數學就不會有如此多的進展了。因此，從今天看來，Cauchy對連續 函數定積分的探討，尤其他的連續函數定義已經擺脫了十八世紀連續函數的看法，使得 他證明了定積分對於範圍很大一類函數是存在的。而事實上，Cauchy 也是第一個認為必須給予積分的一個一般性的定義（而非僅是求導數的逆運算），並證明其存在性，然後，才有資格談論積分的性質。最重要的是:如果不是 Cauchy 對於連續、定積分給予不同於十八世紀數學家所想像的意義，那麼 Riemann 積分可能就很難出現，更別提往後的 Lebesgue 積分了。

Cauchy在給了積分的一個算術的定義之後，於「無限小計算教程概論」的第二十六講裡，探討了連續函數的微積分基本定理，於是完成了連續函數在閉區間上的積分理論。由於 Cauchy對於函數的連續與定積分的概念，使得積分不用訴諸於是求微分的逆運算，所以 積分的概念就可以推廣到對在定義的區間上有有限個不連續點的函數。簡單地說：如果 函數f(x)僅在[a,b]區間上一點C不連續（任意有限多點也是成立），則函敷f(x) 在區間[a,b]上的定積分為

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這是函數嗎?

──Peter Gustav Lejune-Dirichlet

雖然Cauchy早在1823年就開始考慮Fourier 級數收斂等相關問題，並給于 分析嚴密化之一些基礎，但是，其所考慮的過程既不嚴格，也無法涵蓋已知是收斂的級 數。真正第一位對Fourier工作作出嚴密性貢獻的應該是德國的大數學家 Peter Gustav Lejeune-Dirichlet（1805∼1859）。

Dirichlet 的父親是一位郵政局長，與一般的數學家一樣，Dirichlet從小就表現出對數 學很大的興趣，據說，Dirichlet曾將自己的零用錢存下來，以購買數學書籍。當Dirichlet 於十六歲要上大學時，Dirichlet面臨了兩個問題;首先是Dirichlet的父母希望他以後 能成為一名律師，但是，Dirihlet早就心有所屬，毅然要從事數學的研究工作；第二個 問題是要到那裡學習?當時德國的數學水平並不高，能與法國數學家並列的只有Guass 一人，雖然，Guass稱得上是當時世界上最偉大的數學家，然而，Guass正如大家所知的 ，除了在晚年之外，並不是一位熱愛教學工作的人。這一點可以從Guass寫給他的朋友 天文學家W.Olbers的信中看出。Guass寫道：「我真的不喜歡教課……對真正有天賦的學生，他們絕不曾依賴於課堂上的傳授，而必是自修得來的……作這種不值得感謝的工作，唯一的代價是教授浪費了寶貴的時間」。由於 Guass 不喜歡教學工作，以及當時德國數學的落後，因此，Dirichlet 選擇了當時的世界數學中心──巴黎，當作學習數學的地方：並在那裡逗留了三年（1822∼1825）。Dirichlet的選擇或許是對的，因為他在巴黎認識了 Fourier，而 Fourier 在數學物理這方面稱得上是權威。

Dirichlet在Fourier工作影響之下，於1829年在Crele雜誌上發表了關於Foruier級數最 著名的文章〈關於三角級數的收斂性〉(Sur la convergence des séries trigonométriques) 而同時這一篇文章也標示著Dirichlet是第一位給出 一個有關Fourier級數收斂的充份條件的嚴格證明的數學家。Dirichlet於文中首先對 Cauchy關於Fourier級數收斂的推理不嚴格、以及廣度上提出批評，然後給出了他自己的 結果，Dirchlet的結論是：如果f(x)是週期為 2π 且滿足以下條件的函數

(a)f(x)是分段連續（Cauchy意義下的連續）。

(b)在區間中，f(x)只有有限多個極大與極小點。

那麼f(x)的Fourier級數會收斂到函數f(x)左右極限值的算術平均數，也就是

於是，在函數f(x)的所有連續點處，f(x)的Fourier級數均會收斂到函數值f(x)。 檢查Dirichlet證明過程，可以發現:僅須要求f(x)在點x附近是單調就可保證函數 f(X)的Fourier級數會收斂到f(x),但是，為何Dirichlet須要加上「函數 f(x) 是分段連續」這項連續性的假設，原因很簡單，就是要使得

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因此,Dirichlet認為其有無窮多個極大(小)點、不連續點的函數，他的結論也會成立， 而 Dirichlet認為所須額外的條件就是(17)式中相關的積分均會存在，因此，Dirichlet 面臨"怎樣的函數會具有定積分"這個問題，而Dirichlet所給的答案是:

"如果a,b是介於,π之間的任意兩個數，則在a,b之間,總是存在 a<r<s<b,使得f(x)在(r,s)上是連續的。"

以現代的術語來說，Dirichlet的可積條件等於是說:函數f(x)在上的不 連續點構成所謂的疏朗集(nowhere dense set)(雖然，這個結論是錯的)。然而，Dirichlet 在他的有生之年，從未證明過這一點，因為Dirichlet認為這個問題會牽涉到無窮小分析 的基本問題:而Dirichlet允諾在將來會發表在另一篇文章裡，不過，他從未完成。無論 如何，Dirichlet對於可積分函數的這一項要求是很令人玩味的，或許可以這樣說， Dirichlet以後的數學家對於這句話的理解多少左右了一些數學的發展。Dirichlet這句 話的意思至少有兩種涵意;第一種是他心中有著另一種與Cauchy積分完全不同的新的積 分，而這一種積分只須要求積分函數的不連續點構成疏朗集即可,比較不嚴格的講法是 不連續點集是可以省略的，但是，一但如此，那麼構築在Cauchy積分的背景下的最好積 分定義應該是Riemann積分了。然而，在這種情形之下:就無須談論函數的連續性，不過 ，Dirichlet無論是在1829年的這篇文章，還是在1837年的另一篇關於三角級數的文章 (「用正弦和餘弦級數表示完全任意的函數」(Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen) 裡，都在其所陳述的定理中強調「連續性」這項假設。然而，如果說在Cauchy積分的背景 下的最好積分定義應該是Riemann積分，那可能也不是很客觀Weierstrass 就曾對此提出反駁，關於這一點，我們後文還會往回到這一點上。

對於Dirichlet可積條件的另外一種解釋是:Dirichlet可能認為疏朗集的結構不是我們 現代人所想像地那樣複雜，一個疏朗集乃構成的元素可能只有有限個點、或是其導集 D'(更一般為 D⁽ⁿ⁾=(D^n-1)'是有限點集)為有限點集而已。因此，如果函數 f(x)的不連續點所構成的集合D的導集D'為有限點集，特別地，讓我們先考慮D 僅由一個單點c所組成的這種特別簡單的情形,則在以c為中心的某一個區間 以外，應該只有有限個不連續點，這時候，Cauchy的積分定義

從以上討論可知Dirichlet希望能用三角級數表示出的函數類能愈廣愈好，因此，促使 Dirichlet對於當時認為函數必須是可以用解析式表示的這種觀念作出改革，因此， Dirichlet於1837年所發表的「用正弦和餘弦級數表示完全任意的函數」(Über die Darstellung ganz willkürlicher Functionen durch Sinus-und Cosinusreihen) 的文章裡，引進了現代函數的觀念，也就是:

"若變量y以如下的方式與變量x相關聯，只要給x指定一個值，按一個規則可確 定唯一的y值，則稱y是獨立變量x的函數。"

Dirichlet還特別引進他為名的Dirichlet 函數來說明這一點