首先，函數的觀念從十七世紀的具有解析表示式的函數，由於弦振動的論戰，使得Euler 考慮所謂具有間斷點的「不連續」函數（其實是連續但具有間斷導數的函數），以及怎樣的函數具有三角級數表示式。進入十九世紀之後，由於Fourier宣稱「任意函數，包括不連 續函數與無解析表示式而僅能用圖示的函數，均可由三角級數表示」，使得數學家不得不 重新思考什麼是函數、連續與不連續函數了Cauchy急於給于Fourier工作嚴密性，而為極 限下了個算術化定義的雛型，從而使得連續、可微建築在極限的基礎之上。更進一步， 將定積分的定義──從Newton以來積分是微分逆運算的觀念，轉變為某種求和的極限觀念 ，這種改變是重要的，因為將積分視為「微分逆運算」的觀念，使得許多人以為函數積份 的存在性是必然的（部份原因是對函數認識不清），只有將積分視成是求和的極限，才使 得大家更有可能區別連續與不連續函數的區別。接下來，Dirichlet批評Cauchy對於三角 級數收斂性證明不嚴格，而使得Dirichlet第一次嚴格地證明了有關Fourier級數收斂的 一個充份條件，Dirichlet為了將這個結果擴展到更大範圍的函數類，促使他引進所謂 現代函數的觀念，並考慮什麼樣的函數具有積分。Riemann為了謀求分析基礎的嚴密與 清晰，在他的就職論文中，討論了Dirichlet留下的問題，也就是什麼樣的函數是值得 探討的，什麼樣的函數具有積分，由此，給出了到現在為止，仍非常通用的Riemanr積 分，同時給出了兩個積分存在的充要條件;這兩個條件，其中第一個暗示著另外一種積分 的定義（也就是以 Jordan 的容積觀點），另外一種，也就是R(2)則同時顯現出 Riemann 積分允許的函數其實是有限制。不論哪一種，都須要對於點集的徹底研究，才能找到更好 的積分。

致謝：本文承蒙洪萬生老師給予諸多指正與意見，才能使得本文能以較佳的面貌與讀者見面，在此。表示最誠摯的謝意。