我想每個人都會認同：「函數」與「點集」是積分最重要的兩個角色，所以，從函數觀念的發展來談積分發展是相當恰當的，而函數觀念的歷史發展，就恰如我們從中學、大學一直到研究所所經歷的函數觀念改變一樣。如果要說誰最早引進函數的概念，那似乎是很困難的問題;但是，可以確定的是，函數一詞最早是由微積分的發明者之一 Gottfried Wilhelm Leibniz（1646∼1716）於1673年引進，用以表示任何與曲線有關的幾何量（比如：曲線上的點坐標、斜率、曲率半徑等等）。但是，這個定義僅表示一些幾何量間的關係：卻沒有給出函數的解析意義。

Bernoulli 家族的 Johann Bernoulli（1667∼1748）首先從解析的角度定義函數，他於1718年將函數定義為變數 x 與常數所構成的任何表示式、並將它記做 x 或 ξ，稍後，他又用 表示 x 的函數。

第一位真正將函數放在分析學中心地位的數學家：應該是 Euler（Leonard Euler, 1707∼1783）。Euler於1748年所出版的《無窮小分析引論》(Introduction in Analysin infinitorm) 中的第一章就談論函數，他將函數定義為「變量的函數是變量，常量和數用某種方式聯合在一起的解析表達式。只含一個變量 z，餘者為常量，這樣的解析表達式叫做 z 的函數，……，函數分為代數函數和超越函數，前者只含一般代數運算，後者含有超越運算」。在這本大作中，Euler 也討論了隱函數與顯函數的差別。

總結的說來，函數在那時期的長相，就只是對變量作加、減、乘、除、開方等代數運算，以及指數、對數以及三角函數等等超越運算所得到的表達式，（比如說：x³+2x²-7x , ）。當然這些函數在我們看來是相當好的函數（至少是可微，甚至解析）。而且都是我們中學時所經常接觸到的。值得注意的是這些函數在其定義域上，都有著相同的解析表示式，而這正是十八世紀的數學家對函數所持的看法。

在一個荒涼的島上，詩人少有能不空虛，而數學家則仍然能以其發現而自豪。

──Jean le Rond d'Alembert

函數概念因為 Euler、d'Alembert（Jean le Rond d'Alembert, 1717∼1783）以及 Daniel Bernoulli（1700∼1782）一場歷經1760年代至1770年代、關於弦振動問題的論戰，而有了進一步的發展。

論戰的發起人是 d'Alembert。他的身世很可憐，剛出生時，就被遺棄在 Sanit Jean-le-Rond 教堂附近，恰巧被一位士兵發現，因此，就以教堂的名字為名。在d'Alembert 之前：雖然已經有人探討了弦振動（拉緊的弦）的問題，但是，只有 d'Alembert 在1747年所發表的論文「張緊的弦振動時形成的曲線的研究」(Recherches sur la courbe que forme unecorde tendue mise en vibration.Histoire de l'Acad'emie Royale, Berlin, 3. 1747. pp. 214-219)，明確地將偏導數的概念引進，以作為弦振動的數學描述，因此，d'Alembert 也被稱做偏微分方程的先驅。

d'Alembert 主要探討的弦振動問題如下：設有一條長為 l 的弦懸掛並固定於 之間，並設 y(x,t) 為弦於時刻 t 時，在 x 位置虛的橫向位移，於是，可假設 y(t,0)=y(t,l)=0；若進一步假定在時刻 t=0 時，弦的形狀為 y=f(x)，而其初始速度為 0（相當於開始時將弦拉緊，不使其有位移，然後再放鬆），則其所滿足的偏微分方程式為

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把別的數學家置於Euler之上都是一種侮辱。

──Jean le Rond d'Alembert

Euler於讀完 d'Alembert 的論文之後，也於1748年發表他關於弦振動問題的探討的論文──〈On the Vibration of Strings〉，文中的探討方法大致與 d'Alembert 相同，但是，Euler 的結論不同於 d'Alembert。Euler 認為 d'Alembert 對於函數的要求在物理上是不實際的，弦可以拉動：使得其起始形狀在不同的區間上可以由不同的解析表示式所描述。也就是說，Euler 認為他的初始函數 f(x) 在不同的區間上可以有著不同的解析表示式，而 Euler 稱此種函數為不連續函數（就現代意義而言是連續函數，但在相接的地方為不可微的）。Euler 這種函數的認知與他在《無窮小分析引論》中所提的函數的觀念完全不同，因此，他在1755年給函數下了一個新的定義：「如果某些量這樣依賴於另一些量，當後者變化時，它也隨著變化，那麼稱前者是後者的函數」。此一新的函數定義，似乎很接近現代的函數觀念，但是，Euler 的函數觀念，就現代意義而言，還是停留在導數有間斷點的函數上。無論如何，Euler 對於他的新發現，還是覺得很高興，他甚至於1763年12月20日寫信給 d'Alembert 說道：「考慮這類不服從連續性法則的函數：為我們開闢了一個全新的分析領域」。

用一條單獨的曲線，像表示棉花慣格而畫的曲線那樣，來描述在最複雜的音樂演出時效果……。在我看來是數學能力的極好證明。

──Lord Kelvin

介入這場論戰的另外一位重要人物是 Bernoulli 家族中最有才氣的 Daniel Bernoulli（1700∼1782）。Daniel 是 Johann Bernoulli（1867∼1748）的第二個兒子，Johann 雖然是在數學上很出名，而且是一個出色的數學教師，曾教育出像 Euler 這樣偉大的數學家。但是，他卻要 Daniel 去從商，或許是遺傳的關係，Daniel 並沒有如 Johann 所願，而是繼續從事學術研究，並在他的有生之年獲得了十次巴黎科學院的大獎（一個人若是得過一次，就算是非常優秀了），諷刺的是，他還在1734年，與他的父親以〈行星軌道與太陽赤道不同交角的原因〉論文一同獲得巴黎科學院的大獎，當然，他也以其豐碩的功績獲得其他榮譽以及外國院士的名聲。Daniel 於1721年獲得了醫學博士；1725年，與他的大哥 Nikolaus Bernoulli（1695∼1726）受邀到俄國的聖彼得堡科學院工作，在那裡，Daniel 一共工作了八年（1725∼1733），其間；大數學家 Euler 還曾擔任過他的助手。到了1733年，Daniel 的大哥過世以及一些原因，使得他離開聖彼得堡，但是，也是從那時候起，Daniel 與 Euler 開始了維持40年的通信。

早在1733午，Daniel 就曾明確指出振動的弦可以有較高頻率的振動：在1741∼1743年所發表的關於振動桿的橫向振動論文中：又以物理的觀點說明基音和高次的諧音可以同時存在。直到讀完 d'Alembert 1774年與 Euler 1748年的論文之後，或許受到父親老約翰好勝的遺傳，Daniel 也趕緊於1753年發表他以前獲致的結果：振動弦的許多振動模式可以同時存在於弦上，也就是說，假定弦長為 l 的弦，則我們可以從第一基音、第二諧音、第三諧音……等一切可能的簡諧振動

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Daniel 對 Euler 提出的反駁的回答是：既然有無窮多個 a_n 可供選擇，因此：每一個函數當然均可用一三角級數表出，甚至於正如同他在1773年表示的看法：三角級數可能在不同的區間表示不同的代數函數。於是，他的解所涵蓋的範圍比Euler 廣。Daniel 這種非數學方式的論證，當然是無法使人信服，大家或許可以看出，爭議的焦點其實是在於何種函數可以展成三角級數的問題上。無論如何，Daniel 是第一位堅持任意函數可以表示成一三角級數和的人，這種觀點至少為往後的 Fourier 級數奠定物理的基礎。