蔡聰明

1.一個求面積的問題 2.多邊形的面積公式 3. 醉月湖的面積公式 4. 推廣成 Green 定理 5. 整裝待發 6. 推廣到三維空間：Gauss 定理與 Stokes 定理 7. 特殊與普遍的互相含納

1.一個求面積的問題

面積是一個很古老的幾何概念，它起源於人類要丈量土地的大小。Geometry 這個字的根源是 geometrein，geo 是土地，metrein 是測量，故幾何學的原意是測量土地、求面積。自古以來，由於所給的條件有各式各樣，於是對應有各式各樣的面積公式。經過兩千多年的發展，終於創立微積分，透過微分法一舉解決了一切求積問題。

問題1：

在平面上，一條封閉曲線所圍成的領域，例如台大的醉月湖，如何求它的面積呢？

按思考的常理，我們先退到比較簡單的特例，譬如說透過離散化或有窮化，退到多邊形，再退到四邊形乃至三角形。

對於三角形的情形，如果所給的數據是三個邊之長，那麼其面積就有 Heron 公式可循，參見 [1]。推廣到四邊形的情形，如果所給的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個對角，那麼其面積又有 Brahmagupta 公式與 Bretschneider 公式可算，參見 [2]。四邊形的面積公式已經有點煩瑣，如果要再推廣到五邊以上的多邊形，其困難是可以想像得到的,甚至根本行不通。一個求面積公式，若只能對付三角形或四邊形，那麼也太局限了，不合數學追尋普遍的“萬人敵”之道。

換個追尋的方向，改變所給的數據是個好辦法：

(i)假設多邊形的頂點皆為平面上的格子點，那麼其面積就有 Pick 公式

(1)

(ii)已知多邊形的頂點坐標，因為頂點唯一決定多邊形（邊則不然），所以多邊形的面積理應可以利用頂點的坐標來表達。

實際測量一塊多邊形的土地，我們得到邊長 以及邊相對於水平線之旋轉角 ，參見圖1。由這些數據可以得到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為 A = (x₁, y₁) （由取平面坐標系而決定下來）；然後就可求出 B = (x₂, y₂) 如下：

圖1

圖2

問題2：

已知多邊形的頂點坐標為 (x₁,y₁) , (x₂,y₂) , … , (x_n,y_n)，如何求其面積？

本文的主題是：先追尋多邊形的面積公式；接著連續化得到平面上一般領域（包括醉月湖）的面積公式；再作推廣，得到平面上的 Green 定理；最後推廣到三維空間，得到 Gauss 的散度定理與 Stokes 的旋度定理。這些深深觸及向量微積分的核心，是一條值得探尋的路徑。