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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介
(第 4 頁)

蔡聰明

 

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.原載於數學傳播第二十一卷第二期
.作者當時任教於台大數學系
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4. 推廣成 Green 定理

公式(8)是露出海面上的冰山之一角,底下還有更廣大的整座冰山。為了發現這座冰山,我們將(8)式重新整理成:

\begin{displaymath}
\int \!\! \int_\Omega 2dxdy=2S=\oint_\Gamma xdy-ydx
\end{displaymath} (10)

其中 Ω 表示 Γ 所圍成的領域,通常也記 $\Gamma=\partial\Omega$,表示 Ω 的邊界。

(10)式顯示兩重積分與線積分具有密切關係。常函數 $\varphi(x,y)=2$ 在 Ω 的內部作兩重積分就等於向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 沿 Ω 的邊界 $\partial\Omega$ 作線積分。這條線索類似於微積分根本定理

\begin{eqnarray*}
\int_{[a,b]} f'(x)dx &=& \int_{\partial[a,b]}f(x)dx \\
&=& f(b)-f(a)
\end{eqnarray*}


亦即 f 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分(得 f(b)-f(a))等於 f 的變化率 f'[a,b] 上作積分。因此,常函數 $\varphi(x,y)=2$ 似乎應該就是向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 的某種「變化率」(或「微分」)。

為了尋找兩重積分與線積分的一般關係式,我們考慮平面上的向量場

\begin{displaymath}\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j\end{displaymath}

沿著一條封閉曲線 Γ 作線積分

\begin{displaymath}\oint_\Gamma\vec F\cdot d\vec r=\oint_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy\end{displaymath}

問題4:
線積分 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 可化成 Ω 上什麼形式之兩重積分,包括(10)式為特例?

我們仔細觀察(10)式。欲 $\oint_\Gamma xdy-ydx$ 改寫成 $\oint_\Gamma Pdx+Qdy$ 之形,只需取

\begin{displaymath}
P(x,y)=-y \mbox{{\fontfamily{cwM0}\fontseries{m}\selectfont \char 47}} Q(x,y)=x
\end{displaymath}

就好了。但是 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 這一項怎麼來的呢?容易看出

\begin{displaymath}{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}=1-(-1)=2\end{displaymath}

因此 $\int \!\! \int_\Omega 2dxdy$ 就是由 $\int \!\! \int_\Omega ({\partial Q\over \partial x}-
{\partial P\over \partial y})dxdy $ 得來的。

到此為止,我們已經可以提出猜測(Conjecture):

\begin{displaymath}
\oint_{\partial\Omega} P dx + Q dy
= \int \!\! \int_\Omega ...
...rtial Q\over \partial x}
- {\partial P\over \partial y}) dxdy
\end{displaymath} (11)

我們先用一個例子來檢驗(11)式。

例3:
$\vec F(x,y) = 2y \vec i+3x \vec j$,即 P(x,y) = 2y , $\quad Q(x,y) = 3x$, $\Gamma :x^2 + y^2 =1$ 為單位圓,取參數方程式

\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=\cos t\\
y=\sin t \quad ,0\le t\le 2\pi
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}



\begin{eqnarray*}
&& \oint_\Gamma Pdx+Qdy\!=\!\oint_\Gamma 2ydx+3xdy \\
&=& \i...
...&=& \int_{0}^{2\pi}({1\over 2}+{5\over 2}\cos 2t)dt \\
&=& \pi
\end{eqnarray*}


另一方面

\begin{eqnarray*}
&& \int\!\!\int_\Omega ({\partial Q\over \partial x}
- {\part...
...rtial y})dxdy \\
&=& \int \!\! \int_{x^2+y^2\le 1}(3-2)dxdy=\pi
\end{eqnarray*}


因此,上述猜測對於本例成立。

我們已有相當理由支持(11)式之猜測,那麼我們就試證看看吧。 仍然從最簡單的情形著手:

(i)當 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 為矩形領域時,參見圖8。

\begin{eqnarray*}
&&\,\oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\
&=& \int_{a}^{b}P(x,c)d...
...t_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy\\
&& -\int_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx
\end{eqnarray*}


由 Newton-Leibniz 公式(簡稱 N-L 公式)知

\begin{eqnarray*}
Q(b,y)-Q(a,y)=\int_{a}^{b}{\partial Q\over \partial x}dx\\
P(x,d)-P(x,c)=\int_{c}^{d}{\partial P\over \partial y}dy
\end{eqnarray*}


所以

\begin{eqnarray*}
&& \oint_{\partial\Omega} Pdx+Qdy \\
&=& \int_{c}^{d}\int_{...
... ({\partial Q\over \partial x}-{\partial
P\over \partial y})dxdy
\end{eqnarray*}




圖8

(ii)其次考慮平面領域 Ω,滿足:邊界 $\Gamma=\partial\Omega$ 跟平行於 x 軸與 y 軸的直線至多只交於兩點,參見圖9。



圖9

我們只需要證明

\begin{displaymath}
\oint_\Gamma Pdx=-\int \!\! \int_\Omega {\partial P\over \partial y}dxdy
\end{displaymath} (12)


\begin{displaymath}
\oint_\Gamma Qdy=\int \!\! \int_\Omega {\partial Q\over \partial x}dxdy
\end{displaymath} (13)

再相加起來就好了。今證(12)式:邊界 Γ 可以分成兩部分
$\Gamma_1:CDA$$\Gamma_2:ABC$

分別由函數
y=f1(x)y=f2(x), $x \in [a,b]$ 所定義,於是

\begin{eqnarray*}
& & \oint_\Gamma Pdx \\
& = & \int_{\Gamma_1} Pdx \,+\, \in...
...
& = & - \int \!\! \int_\Omega {\partial P\over\partial y}dxdy
\end{eqnarray*}


同理可證明(13)式。

(iii)當 Ω 為單純連通領域 (simply connected region) 時,可以分割成幾個(ii)的領域之聯集,這種情形上述的猜測也成立。參見圖10。



圖10

定理3:(Green 定理,1828年)
設 Ω 為由封閉曲線 Γ 所圍成的單純連通領域,並且 P , Q , ${\partial Q\over\partial x}$ , ${\partial P\over\partial y}$ 在 Ω 上皆為連續函數,則
\begin{displaymath}
\oint_\Gamma Pdx+Qdy=\int \!\! \int_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P
\over \partial y})dxdy
\end{displaymath} (14)

註:
我們不去追求最廣泛的 Green 定理。 一般微積分教科書都將(10)式貶為是(14)式的特例或腳註。我們反其道而行, 將(10)式視為是生出(14)式的胚芽 (germ) 或線索 (clue)。

   

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編輯:鄧惠文 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002