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我們從醉月湖的求面積問題出發,先退到多邊形,再退到三角形,最後更退到一頂點是原點之特殊三角形。此時問題變得很簡單,一下子就解決了。然後開始前進,先是一般三角形,再來是多邊形,緊抓住公式的正確形式,連續化就解決了求醉月湖的面問題。接著順勢推舟,飛躍出 Green 定理,整理成法向式與切向式,再類推、推廣成三維空間的 Gauss 定理與 Stokes 定理,最後統合於廣義的 Stokes 定理。
這種解決問題的「退進之道」,在數學中隨處可見。偉大數學家 Hilbert 說得淋漓盡致:「做數學的要訣(或藝術)在於找到含有普遍性的所有胚芽那個特例。」
(The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.) 三角形的面積公式就是符合 Hilbert 所說的「那個特例」。本文正好可作為 Hilbert 這句名言之腳註。
特殊孕育出普遍,充實普遍;普遍又回過頭來照顧特殊,含納特殊。這種特殊到普遍之拾級而上,有機連結,互相啟發與觀照,發人深省。
- 1.蔡聰明:談Heron公式──記一段教學經驗,數學傳播,第十七卷第一期,1993。
- 2.蔡聰明:四邊形的面積,數學傳播,第十七卷第三期,1993。
- 3.蔡聰明:Leibniz 如何想出微積分?數學傳播,第十八卷第三期,1994。
- 4. B. Grunbaum and G. C. Shephard, Pick's Theorem, Amer. Math. Monthly, 150-161, 1993.
- 5. M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, Univ. of Notre Dame Press, 1967.
- 6. M. Kline, Mathematical thought from Ancient to modern time, Oxford Univ. Press, 1972.
- 7. D. M. Bressoud, Second year calculus, Springer-Verlag, 1991.
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