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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介
(第 7 頁)

蔡聰明

 

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.原載於數學傳播第二十一卷第二期
.作者當時任教於台大數學系
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7. 特殊與普遍的互相含納

我們從醉月湖的求面積問題出發,先退到多邊形,再退到三角形,最後更退到一頂點是原點之特殊三角形。此時問題變得很簡單,一下子就解決了。然後開始前進,先是一般三角形,再來是多邊形,緊抓住公式的正確形式,連續化就解決了求醉月湖的面問題。接著順勢推舟,飛躍出 Green 定理,整理成法向式與切向式,再類推、推廣成三維空間的 Gauss 定理與 Stokes 定理,最後統合於廣義的 Stokes 定理。

這種解決問題的「退進之道」,在數學中隨處可見。偉大數學家 Hilbert 說得淋漓盡致:「做數學的要訣(或藝術)在於找到含有普遍性的所有胚芽那個特例。」 (The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality.) 三角形的面積公式就是符合 Hilbert 所說的「那個特例」。本文正好可作為 Hilbert 這句名言之腳註。

特殊孕育出普遍,充實普遍;普遍又回過頭來照顧特殊,含納特殊。這種特殊到普遍之拾級而上,有機連結,互相啟發與觀照,發人深省。

1.蔡聰明:談Heron公式──記一段教學經驗,數學傳播,第十七卷第一期,1993。
2.蔡聰明:四邊形的面積,數學傳播,第十七卷第三期,1993。
3.蔡聰明:Leibniz 如何想出微積分?數學傳播,第十八卷第三期,1994。
4. B. Grunbaum and G. C. Shephard, Pick's Theorem, Amer. Math. Monthly, 150-161, 1993.
5. M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, Univ. of Notre Dame Press, 1967.
6. M. Kline, Mathematical thought from Ancient to modern time, Oxford Univ. Press, 1972.
7. D. M. Bressoud, Second year calculus, Springer-Verlag, 1991.

   

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編輯:鄧惠文 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002