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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介
(第 2 頁)

蔡聰明

 

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.原載於數學傳播第二十一卷第二期
.作者當時任教於台大數學系
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2.多邊形的面積公式

多邊形仍然太複雜,我們再退到三角形的特例,探尋完成後,再進到多邊形。這種處理問題時退、進之道很值得留意。

問題3:
已知三角形三個頂點的坐標為 A= (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x3, y3), 如何求其面積?

我們進一步退到三個頂點為 O=(0,0), B=(x2, y2), C=(x3, y3) 之更特殊三角形。令 OB, OCx 軸的夾角分別為 $\theta_1$$\theta_2$,且 $OB=\rho_1$, $OC=\rho_2$,則

\begin{eqnarray*}
x_2\!=\!\rho_1\cos\theta_1 & , & \quad y_2\!=\!\rho_1\sin\thet...
..._3\!=\!\rho_2\cos\theta_2 & , & \quad y_3\!=\!\rho_2\sin\theta_2
\end{eqnarray*}




圖3



圖4

如上圖所示,我們分成兩種情形來討論:

(i)當 O,B,C 成為逆時針(或右手系)定向時,如圖3,則 $\Delta OBC$ 的面積為

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
S &= {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_2-\t...
...cc}
x_2 &x_3\\
y_2 &y_3
\end{array}\right\vert
\end{eqalign}\end{displaymath} (2)

(ii)當 O,B,C 成為順時針(或左手系)定向時,如圖4,則 $\Delta OBC$ 的面積為

\begin{eqnarray*}
S & = & {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_1-\theta_2)\\
& =...
...rt
\begin{array}{cc}
x_2 &x_3\\
y_2 &y_3
\end{array}\right\vert
\end{eqnarray*}


因此行列式

\begin{displaymath}
\left\vert
\begin{array}{cc}
x_2 &x_3\\
y_2 &y_3
\end{array}\right\vert
\end{displaymath}

代表由 OBOC 所生成的平行四邊形的有號面積,當 O,B,C 逆時針定向時為正,順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。

回到問題3,不妨假設 $\Delta ABC$ 為逆時針走向,見圖5,則 $\Delta ABC$ 的面積為

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
S &= \Delta OAB+\Delta OBC-\Delta OAC \\
&...
...k &x_{k+1}\\
y_k &y_{k+1}
\end{array}\right\vert
\end{eqalign}\end{displaymath} (3)

其中規定 x4=x1y4=y1

註:
通常教科書將(3)式寫成
\begin{displaymath}
S={1\over 2}
\left\vert
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
x_1 &x_2 &x_3\\
y_1 &y_2 &y_3
\end{array}\right\vert
\end{displaymath} (4)

不過,(3)式適於推廣到任何多邊形,而(4)式則不然。換言之,(4)式是死的,(3)式才是活的有源之泉。



圖5

仿上述之論證可得

定理1:
A1 (x1 , y1) , A2 (x2 , y2) , … , An (xn,yn)n 邊形之頂點坐標且為逆時針定向,則此 n 邊形的面積為

\begin{displaymath}
S={1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n}
\left\vert
\begin{array}{cc}
x_k& x_{k+1}\\
y_k& y_{k+1}
\end{array}\right\vert
\end{displaymath} (5)

其中規定 xn+1=x1yn+1=y1

註:
(5)式又叫做測量師的公式。

   

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編輯:鄧惠文 / 校對:康明軒 / 繪圖:張琇惠 最後修改日期:4/26/2002