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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介 （第 2 頁）

蔡聰明

 

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．原載於數學傳播第二十一卷第二期
．作者當時任教於台大數學系
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2.多邊形的面積公式

多邊形仍然太複雜，我們再退到三角形的特例，探尋完成後，再進到多邊形。這種處理問題時退、進之道很值得留意。

問題3：
已知三角形三個頂點的坐標為 A= (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x3, y3), 如何求其面積？

我們進一步退到三個頂點為 O=(0,0), B=(x2, y2), C=(x3, y3) 之更特殊三角形。令 OB, OC 與 x 軸的夾角分別為 $\theta_1$ 與 $\theta_2$，且 $OB=\rho_1$, $OC=\rho_2$，則

\begin{eqnarray*} x_2\!=\!\rho_1\cos\theta_1 & , & \quad y_2\!=\!\rho_1\sin\thet... ..._3\!=\!\rho_2\cos\theta_2 & , & \quad y_3\!=\!\rho_2\sin\theta_2 \end{eqnarray*}



圖3


圖4

如上圖所示，我們分成兩種情形來討論：

(i)當 O,B,C 成為逆時針（或右手系）定向時，如圖3，則 $\Delta OBC$ 的面積為

\begin{displaymath} \begin{eqalign} S &= {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_2-\t... ...cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{eqalign}\end{displaymath} (2)

(ii)當 O,B,C 成為順時針（或左手系）定向時，如圖4，則 $\Delta OBC$ 的面積為

\begin{eqnarray*} S & = & {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_1-\theta_2)\\ & =... ...rt \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}


因此行列式

\begin{displaymath} \left\vert \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{displaymath}

代表由 OB 與 OC 所生成的平行四邊形的有號面積，當 O,B,C 逆時針定向時為正，順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。

回到問題3，不妨假設 $\Delta ABC$ 為逆時針走向，見圖5，則 $\Delta ABC$ 的面積為

\begin{displaymath} \begin{eqalign} S &= \Delta OAB+\Delta OBC-\Delta OAC \\ &... ...k &x_{k+1}\\ y_k &y_{k+1} \end{array}\right\vert \end{eqalign}\end{displaymath} (3)

其中規定 x4=x1 且 y4=y1

註：
通常教科書將(3)式寫成
\begin{displaymath} S={1\over 2} \left\vert \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ x_1 &x_2 &x_3\\ y_1 &y_2 &y_3 \end{array}\right\vert \end{displaymath} (4)

不過，(3)式適於推廣到任何多邊形，而(4)式則不然。換言之，(4)式是死的，(3)式才是活的有源之泉。


圖5

仿上述之論證可得

定理1：
設 A1 (x1 , y1) , A2 (x2 , y2) , … , An (xn,yn) 為 n 邊形之頂點坐標且為逆時針定向，則此 n 邊形的面積為

\begin{displaymath} S={1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n} \left\vert \begin{array}{cc} x_k& x_{k+1}\\ y_k& y_{k+1} \end{array}\right\vert \end{displaymath} (5)

其中規定 xn+1=x1 且 yn+1=y1

註：
(5)式又叫做測量師的公式。

   

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編輯：鄧惠文 ／ 校對：康明軒 ／ 繪圖：張琇惠 最後修改日期：4/26/2002