級數求和法

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任職於中央研究院數學所研究員，借調至中正大學應數所

級數求和法

余文卿

1. 部分分式與級數求和
2. Kronecker 極限式
3. 求和公式
4. $\Gamma'(S)/\Gamma(S)$ 的值
5. 關於 $\Gamma''(S)/\Gamma(S)$
6. 結論

偶然的一次談話中，台大數學系的康明昌教授提到二次多項式相關的級數和問題；如

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6} \quad,\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}; \end{displaymath}$

是否級數 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+1)^2}$ 的和也是 $r\pi^2(r\in Q)$ 的形式？當時我給的答案是否定的，並提供了一求和公式。其實對任意多項式 P(X)，級數

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P(n)}\end{displaymath}$

的和可用階乘函數 $\Gamma(s)(\Gamma(n+1)=n!)$ 及其高階導函數的數值表示出來，所用的基本原理只是部分分式的理論與有名的 Kronecker 極限式 (Kronecker limit formula)；故在此借用《數學傳播》一角，導出這類級數的求和公式。

1. 部分分式與級數求和

對一般高中程度的學生，應能夠計算下列級數的和。

(1)

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} \qquad\qquad (=1) \end{displaymath}$

(2)

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} \qquad\qquad (=\frac{3}{4}) \end{displaymath}$

(3)

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} \qquad (=\frac{1}{4}) \end{displaymath}$

(4)

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)} \qquad (=\frac{1}{18}) \end{displaymath}$

這類級數的求和是透過適當的部分分式分解，將級數寫成兩級數（可能發散）的差，經由消去而得出級數的和；如

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} } \\ &=& ... ...{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}) + \cdots \\ &=& \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

上面的方法對於 $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}$ 一類級數的求和就失效了。要想得出 $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}$ 的和，一則可利用三角級數

$\begin{displaymath} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos{2\pi nu}}{n^2}=\pi^2(u^2-u+\frac{1}{6}), \quad 0\leq u\leq 1, \end{displaymath}$

另外也可利用複變上的方法；這類方法也只能針對某些特殊形式的級數，並不能解決我們現有的問題。

對外搜尋關鍵字：
．Kronecker極限式
．Riemann zeta

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EpisteMath (c) 2000 中央研究院數學所、台大數學系
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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒

最後修改日期：4/26/2002