級數求和法 (第 3 頁)

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級數求和法（第 3 頁）

余文卿

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．原載於數學傳播第十五卷第四期
．作者當時任職於中央研究院數學所研究員，借調至中正大學應數所
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3. 求和公式

設 $P(x)=(x+\delta_1) \cdots (x+\delta_k)$ 是一多項式，而 $\delta_1$ ,…, $\delta_k$ 都是大於 -1 的實數，如此 P(n)>0，考慮級數

$\begin{displaymath}S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P(n)}\end{displaymath}$

現先考慮一簡單的特例；即 $k\geq2$ ，且 $\delta_1,\cdots,\delta_k$ 兩兩相異時，則

$\begin{displaymath}\frac{1}{P(x)} = \frac{A_1}{x+\delta_1} + \cdots + \frac{A_k}{x+\delta_k} \quad, \end{displaymath}$

而

$\begin{displaymath}A_j = \lim_{x\rightarrow-\delta_j}\frac{x+\delta_j}{P(x)} = \frac{1}{P'(-\delta_j)}\end{displaymath}$

因此

$\begin{eqnarray*} S&=&\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P(n)}\\ &=&\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{P'(-\delta_j)(n+\delta_j)} \end{eqnarray*}$

即級數 S 可寫成 k 個級數的和；利用

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+\delta_j)^s}=\frac{1}{s-1}-\fr... ...ta_j)}}{\Gamma{(1+\delta_j)}} +a_{j1}(s-1)+a_{j2}(s-1)^2+\cdots\end{displaymath}$

得出

$\begin{eqnarray*} S&=&\lim_{s\rightarrow1^+}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{P'(-\delta_j)... ...P'(-\delta_j)}\frac{\Gamma'{(1+\delta_j)}}{\Gamma{(1+\delta_j)}} \end{eqnarray*}$

在此我們用到等式

$\begin{displaymath}\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{P'(-\delta_j)}=0\end{displaymath}$

這式子很容易由等式

$\begin{displaymath}1=\sum_{j=1}^{k}\frac{1}{P'(-\delta_j)}\cdot\frac{P(x)}{(x+\delta_j)}\end{displaymath}$

比較 x^k-1 的係數而得出。現利用上面的式子來計算一些較複雜級數的和。

例題1:
求級數 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+4)(n+5)(n+7)}$ 的和

解答:

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \frac{1}{(x+1)(x+4)(x+5)(x+7)} } \\ &=& \frac{1}{7... ...}+ \frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x+5}-\frac{1}{36}\cdot\frac{1}{x+7} \end{eqnarray*}$

故

$\begin{eqnarray*} \lefteqn{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)(n+4)(n+5)(n+7)} } ... ...5} + \frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\gamma) \\ &=& \frac{227}{30240} \end{eqnarray*}$

當 P(x)=0 有重根時，則可取 $\epsilon_1\geq0$ ，…， $\epsilon_k\geq0$ ，使得

$\begin{displaymath}P_\epsilon(x)=(x+\delta_1+\epsilon_1)\cdots(x+\delta_k+\epsilon_k)\end{displaymath}$

有 k 個相異的零位，利用

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_\epsilon(n)}\end{displaymath}$

的求和公式以及

$\begin{displaymath}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P(n)} = \lim_{\epsilon\rightarrow0}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{P_\epsilon(n)}\end{displaymath}$

可導出級數的和；如

$\begin{eqnarray*} &&\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(3n+1)^2}\\ &=&\frac{1}{9}\lim_... ...c{\Gamma'{(\frac{1}{3})}}{\Gamma{(\frac{1}{3})}}\right)^2\right] \end{eqnarray*}$

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編輯：石莉君 ∕ 校對：康明軒

最後修改日期：4/26/2002