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級數求和法 (第 5 頁)

余文卿

 

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.原載於數學傳播第十五卷第四期
.作者當時任職於中央研究院數學所研究員,借調至中正大學應數所
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5. 關於 $\Gamma''(S)/\Gamma(S)$

把積分式

\begin{displaymath}\frac{\Gamma'(1+\delta)}{\Gamma(1+\delta)}+\gamma=\int_0^\infty\frac{(1-e^\delta t)dt}{e^t-1}\end{displaymath}

對 δ 微分,則得出

\begin{displaymath}\frac{\Gamma''(1+\delta)}{\Gamma(1+\delta)}-\left[\frac{\Gamm...
...+\delta)}\right]^2
=\int_0^\infty\frac{te^{-\delta t}dt}{e^t-1}\end{displaymath}

用來求出 $\Gamma'(1+\delta)/\Gamma(1+\delta)(\delta=q/p)$ 的方法已不再適用,經由 u = e-t/p 的變數變換後,會有 $\log u$ 出現在積分堙A故除了一些特別數值外,這類數值並不易求出,為方便起見,定

\begin{displaymath}
F(\delta) = \frac{d}{d\delta}
\left[\frac{\Gamma'(\delta)}{...
...lta)} -
\left[\frac{\Gamma'(\delta)}{\Gamma(\delta)}\right]^2
\end{displaymath}

由等式

\begin{displaymath}\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin{\pi s}}\end{displaymath}

兩邊取對數且對 s 連續微分兩次,則得

\begin{displaymath}F(s)+F(1-s)=\pi^2\csc^2{\pi s}\end{displaymath}

特別是

\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
& F(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{2} \\
& F(\frac{1}{3})+F(\frac{2}{3})=\frac{4\pi^2}{3}
\end{eqalign}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{1}{4}F(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{8}\end{displaymath}

例題2:
求級數 $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n+1)^2(3n+2)^2}$ 的和。

解答:

\begin{eqnarray*}
&&\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(3n+1)^2(3n+2)^2}\\
&=&\frac{1}{9...
...c{\pi}{\sqrt{3}})\\
&=&\frac{4\pi^2}{27}-\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}
\end{eqnarray*}


   

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編輯:石莉君 / 校對:康明軒 最後修改日期:4/26/2002