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談談進位法 (第 6 頁)

唐文標

 

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.原載於數學傳播第四卷第三期
.作者當時任教於政大應數系
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(六) 三百六十度

中國很早採用了十進位法,所以一切都應用十為本位,許多文字乃至合理化的哲理由此而生,後者值得我們去理解。但古代文明發生的地區的人民,用的多是非十的的進位法。事實上,沒有數字中的零的出現,數系的進位法永不完全,一切進位法則只好在應用事物上來考慮了。我們該認識到,真正零的出現,在中國,最早不超過唐,敦煌卷子的《立成算經》,《籌算書》中曾空一行表示零位。 南宋秦九韶在《數學九章》和楊輝在《詳解九章算法》(1261)算是書有明文的應用 0 字。

西方數學史上,傳說 0 是印度傳入的,據說印度在公元300年到700年間已使用,後由阿拉伯人傳入歐洲,在公元十二世紀開始使用。但恐怕非到十五世紀,人們還不能全部了解和應用到這個「0」字!

沒有零的歲月中,只好大量使用組合性的單位了。

這些單位的創制和應用和應用,雖然大半是人為的,卻與自然環境有關。

固然 10 進位亦由於人的天然限制,不得不如此。但是,由於考慮不同,各地人民應用自然現象也相異了。

考慮人本身的極限,例如手指,腳指的總數,來作為計數的本位,固然是最簡單的,但似乎考慮天文的限制,更具有人定勝天的意義。

這種說法其實古中國也知道,在碰到現實困難時,發現十進位法解決不了問題。這堣畷U炎武在《日知錄》一段研究曆法時所體會到的,來說明一下:

周禮挈壺氏註,漏箭畫夜共百刻。《禮記》,《樂記》,百度得數以為常弘……〈隋書天文志〉,昔黃帝創觀漏水,制器取則,以分晝夜。 其後因以命官,周禮挈壺氏創其職也。其法總以百刻分於晝夜。梁天監六年、 武帝以晝夜百刻分配十二辰,辰得八刻。仍有餘分,乃以晝夜為九十六刻, 一辰有全刻八焉。(漢哀新莽以百二十刻為日,梁武以九十六為日。是知每 辰得八刻仍有餘分者,古法也。)

這裡涉及的問題是將晝夜分為百刻,後來又因由古代《左氏傳》之一日十時辰改到一日十二時辰。(我國一日十二時辰,大概始於漢代曆家,但為誰所創,且立十二支之目,則不可考矣!)因此不可割分,只好改用一刻六十分。從每時八刻又三分之一,改為八刻二十分。我們注意這個變遷的意義在:

(1)為何由一天十時改為十二時。
(2)為何應用六十分進位為一刻。

顯然為了天文上的理由,不得不改用非十進位法

事實上也正好如此,地球繞太陽一周約需三百六十五天又四分之一。這是改不了的自然限制。很早人類由觀察星象,採集農耕常識,地球氣候變遷的周期現象,已約略知道這個周期為三百六十天。古埃及人將一年分為十二個月,每月三十天。巴比侖時代,一年也用三百六十天。所以他們把太陽在天體中的軌道分為三百六十等分,每一等分表示一個晝夜,一個圓周分成三百六十度就是這樣想出來,大概是錯不了。(參考 Lancelot Hogen 著的《Mathematics for the millions》, 有中文譯本,《大眾數學》)

由於一周期三百六十天,天是圓的,弧度於是測量劃分為三百六十度,而且太陽的位置影響到春、夏、秋、冬四時,以二十四節氣,這是任何活在地球的生物都會受到影響的,尤其是南北回歸線上的農作物。四時行焉,萬物生焉,古代農業社會的人民沒法違反這個天然的運作系統。

古代數學多是研究曆法而生的,中國古數學家也就是曆法家。在這種情形下,我們可以明白巴比倫人為何用六十作為單位,而且刻石作算法表來教導六十進位的基本運算,在公元前二千年巴比倫的 Semitic Hammurabir 王朝的廟宇學校堙A已發展出一套符號表示:1/3600, 1/600, 1/60, 1/10, 1, 10, 60, 600, 3600, 36000, 60 x 3600 等等,進位法系統已頗完備。

   

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編輯:洪瑛 最後修改日期:4/26/2002