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談談進位法 (第 4 頁)

唐文標

 

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.原載於數學傳播第四卷第三期
.作者當時任教於政大應數系
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(四)數字的進位

從歷史的數字發展史來看,各地的人民,因為不同的生活環境,相異的生存競爭,和差別的解決問題的方法,創造了各式各樣的數字組合的系統,常見的有下列幾種。

(一)組合數字,用具體事物來代表數字: 著名的巴比倫數字及古埃及數字系統都是,如埃及人用一直棍的象形代表一,用骨頭象形代表一十,用繩索代表一百、用蓮花代表一千,用手指代表一萬,用蝌蚪代表十萬,用吃驚的人表示百萬。可注意的是,埃及數字固然是一大堆象形圖形混合來代表的,正如南美巴拉圭土著人還使用一手代表數目字五,二手代表一十,二手一足代表十五,二手二足代表二十。但顯然,二手指三蓮花四繩索五骨頭六直棍加起來等於 23,456 而已,其中亦有進位法的,十個骨頭援一條繩子之類。

(二)用文字代表數字: 希臘人,利用了數字的拼音文字的首始字母,代表該數字,例如 $\Gamma=\Gamma ENTA=5$$\triangle EKA=\triangle=10$ 等等。

(三)用拼音字母排列的次序代表: 希臘人、希伯來人、敘利亞人等都用過這種方法。

(四)混和了組合和進位法的數字系統: 例如仍然使用的羅馬數字系統就是如此。夾雜地構合了五和拾的進位法,希臘文化影響的數字符號。

這幾種數字系統,都含有進位意義。其實,只要有一點數字觀念, 立刻便出現「進位」這個必須且當然的發展。純用一個基底數字作為進位的數字系統,在現實生活和歷史過程中,幾乎絕無僅有,實無須強言「時刻」單位,秒、分、時是組合而非進位,那麼,長久使用到近年才略修改的英國貨幣制度也是組合,布匹慣用的尺碼長度,重量的斤-兩,磅-安士,都該是組合了。 我認為數字系統內是可以改進位基數的。進位觀念引入數字系統,為人類對事物控制過程中的方便而已,不必削足就履,為了一個規則律則, 一定要大加修改人的生活習慣。自然,近年來,人群的生活範圍擴大, 因而世界各國為著避免不必要的混亂和糾紛,漸趨向使用共同的一種度量衡等制度, 都有世界大同的好意存在的。

如要斷然地區分組合與進位,則要認識到嚴格的進位法是在位值的概念確立之後的事, 而位值概念又是在人發明了「零」之後才形成的。

   

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編輯:洪瑛 最後修改日期:4/26/2002